He leído que $$10\frac{\exp(\pi)-\log 3}{\log 2} =318.000000033252\dots \approx 318$$
Es esto simplemente una coincidencia o puede que esto de alguna manera se explica?
Respuesta
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He aquí una respuesta. La expresión que escribió contiene tres operaciones binarias y cuatro operaciones unarias. Esto se hace más evidente al ver el árbol de análisis:
(*)
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--------
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id (/)
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10 --------
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(-) log
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----- 2
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exp log
| |
pi 3
Podemos contar cuántas expresiones similares que hay, y ver cuál es la probabilidad de que uno de ellos es que cerca de un entero. Esto nos dará una idea de si el resultado es debido a la casualidad o no.
Para ser concretos, nos limitamos a las cuatro operaciones binarias $+$, $\times$, $-$ y $\div$ en cualquier combinación, y decir que las hojas de los árboles puede ser cualquiera de los números de $1,2,\dots,10$ o $\pi$, y opcionalmente en combinación con uno de los operadores $\exp$, $\log$ o $\mathrm{id}$ (la función identidad). Vamos a descuento de las expresiones que, obviamente, son números enteros , tales como $1+(2+(3+4))$, pero que no será muy muchas expresiones en comparación con el total.
Entonces se convierte en un simple recuento de argumento. Cada expresión se representa como un árbol binario con valores en las hojas. Hay 33 posible de la hoja de valores (números 11 $\times$ 3 operadores) y 4 valores posibles en cada nodo.
Hay tres nodos en el árbol y 4 hojas, y hay 5 posibles árboles binarios con tres nodos. Por lo tanto, el número total de expresiones es
$$4^3 \times 33^4 \times 5 \approx 3.8 \times 10^8$$
Therefore, to a very rough approximation we can say that we would expect there to be one expression that was within
$$1/(3.8\times 10^8) \approx 2.6\times 10^{-9}$$
of an integer. Since your example is only within $3\times 10^{-8}$ de un entero, me siento bastante seguro al decir que es por pura casualidad (o alguien con mucho tiempo en sus manos) y no hay necesariamente una explicación más profunda.
