Comprender el límite del supremum de un conjunto

Question

Dada una secuencia ${A_n}$ definimos el conjunto

lim sup $A_n = \{x : x$ pertenece a un número infinito de $A_n$ 's $\}$

Es decir

lim sup $A_n = \bigcap_{m=1}^\infty (\bigcup_{n=m}^\infty A_n)$

No veo que esto tenga sentido.

Cuando $m = 1$ , $(\bigcup_{n=m}^\infty A_n) = A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3 \bigcup ...$

Cuando $m = 2$ , $(\bigcup_{n=m}^\infty A_n) = A_2 \bigcup A_3 \bigcup A_4 \bigcup ...$

y así sucesivamente como $m$ va al infinito.

Entonces, ¿cuál se supone que es la intersección de todos estos conjuntos unidos?... Parece que se 'desvanece' como $m$ va al infinito.

No veo cómo la intersección de estos conjuntos unidos se correlaciona con $\{x : x$ pertenece a un número infinito de $A_n$ 's $\}$ ?

Answer 1

Sobre el infinito

Tu redacción sugiere que tu concepto de infinito no está del todo afinado. La unión $$ \bigcup_{n=m}^\infty A_n $$ es infinito para cualquier $m$ para que $1\leq m<\infty$ . Y aunque $m$ tiende al infinito NUNCA lo alcanza ya que el infinito NO es un número natural (de hecho no es un número en absoluto). Esto significa que $m$ recorre la secuencia $1,2,3,...$ que, literalmente, se eterniza. Así que el infinito no es un estado final ni nada parecido que $m$ finalmente llega. Es el concepto que $m$ sigue contando sin fin, sin ningún estado de terminación finito. Así que la unión dada anteriormente nunca está vacía (nunca "desaparece"), sino que produce la unión de la cola infinita de conjuntos $A_m,A_{m+1},...$ para cualquier número natural finito $m$ .

Las dos descripciones de limsup

Permítanme demostrar cómo estas dos descripciones de $\lim\sup$ coinciden:

Dejemos que $x\in\{x:x\mbox{ belongs to infinitely many }A_n\mbox{'s}\}$ se le dará. Ahora considere algunos $m$ . Desde $x$ pertenece a un número infinito de $A_n$ debe estar contenido en otros $A_n$ 's que sólo $A_1,A_2,...,A_{m-1}$ . Por lo tanto, se deduce que $x\in A_{m+k}\subseteq\bigcup_{n=m}^\infty A_n$ para algún número entero no negativo $k$ . Dado que esto es válido para cualquier valor de $m$ se deduce que $$ x\in\bigcap_{m=1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right) $$ Esto demuestra que $$ \{x:x\mbox{ belongs to infinitely many }A_n\mbox{'s}\}\subseteq\bigcap_{m=1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right) $$

Ahora dejemos que $x\in\bigcap_{m=1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right)$ sea dada. Supongamos para una contradicción que $x$ sólo pertenece a un número finito de $A_n$ 's. Sea $A_k$ sea el último conjunto de la secuencia que contiene $x$ . Pero entonces tenemos $$ \bigcap_{m=1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right)\subseteq\bigcap_{m=k+1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right) $$ donde $x$ está contenido en el subconjunto anterior pero no en el superconjunto, lo cual es absurdo. Esto contradice la posibilidad de $x$ que sólo está contenida en un número finito de $A_n$ 's. Por lo que se deduce que $x$ también pertenece a $\{x:x\mbox{ belongs to infinitely many }A_n\mbox{'s}\}$ . Esto demuestra la otra inclusión: $$ \{x:x\mbox{ belongs to infinitely many }A_n\mbox{'s}\}\supseteq\bigcap_{m=1}^\infty\left(\bigcup_{n=m}^\infty A_n\right) $$