Paseo aleatorio: Necesita la intuición detrás de la distancia esperada desde el origen frente a la desviación esperada de la fracción de pasos a la izquierda/derecha.

Question

Parece que en un paseo aleatorio 1D la distancia RMS esperada desde el origen es algún valor positivo con cualquier número positivo de pasos (N):

sqrt(N)/2 

Sin embargo, en este mismo paseo, la desviación esperada de la fracción de pasos hacia cualquier dirección tiende a cero.

1/(2 * sqrt(N))

No veo intuitivamente por qué la primera no tiende también a cero si los pasos medios hacia la izquierda se anulan con los pasos hacia la derecha.

¿Alguien tiene una explicación intuitiva para esto?

Answer 1

Creo que ahora lo veo intuitivamente más claro.

Si se dibujan dos líneas paralelas A y B con longitudes iguales a los lanzamientos de la moneda, donde la cara añade un cm a A y la cruz añade un cm a B, entonces cuantos más lanzamientos se hagan, mayor será la diferencia de longitudes entre A y B. Esto tiende a un valor positivo, muy parecido a la distancia RMS desde el origen.

Sin embargo, si se toma la fracción de esa diferencia (A-B)/(A+B) sobre la diferencia esperada, que es 0,5 para el volteo equilibrado, entonces esa fracción tiende a cero con más volteos.

El exceso tiende a aumentar mientras que la proporción del exceso sobre el total de pasos tiende a cero.

Answer 2

Supongo que tal vez ya has visto las matemáticas, pero sólo quieres tener una mejor sensación intuitiva de esta situación.

Las distancias desde el origen tomarán, por supuesto, muchos valores, algunos grandes y otros pequeños. El efecto del paso de elevación al cuadrado en el cálculo de la RMS será ponderar en gran medida las distancias más grandes antes de tomar la media.

Para ver el efecto en un contexto sencillo, intente encontrar la media y la RMS de algunos conjuntos simples de números y vea cómo se comportan estos promedios cuando algunos números son mucho mayores que otros

Answer 3

Una de las formas en que me ayuda a pensar en esto es en términos de un lanzamiento de moneda. El proceso de un $n$ -El paseo aleatorio discreto en 1d es el mismo volteando $2n$ contras, consiguiendo $h$ cabezas, y tomando $2*(h-n)$ . Si lanzo una moneda justa 10 millones de veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga exactamente 5 millones de caras? Muy poco probable, ¿verdad? Y si lanzo 10 mil millones de monedas, es aún menos probable que obtenga exactamente 5 mil millones de caras. Por lo tanto, las monedas hacen que sea obvio, al menos para mí, que la distribución se extiende más en términos del número real de cabezas que obtienes, por lo que la RMS esperada se hace más grande, y, de hecho, tan grande como quieras, lo que tal vez no sea tan difícil de adivinar, ya que intuitivamente está subiendo.

Sin embargo, para la proporción esperada, las monedas también lo dejan claro. Porque, si lanzo 10 millones de monedas justas, aunque es muy poco probable que saque exactamente 5 millones de caras, también es bastante improbable que el 51% de ellas salgan caras. Y si lanzo 10 mil millones de monedas es aún menos probable. Así que, intuitivamente, la diferencia porcentual esperada va a cero, y eso equivale de nuevo a que la varianza esperada en la proporción de pasos en cualquier dirección en tu paseo aleatorio va a cero.

Por cierto, si estás familiarizado con el teorema de Demoivre-Laplace, esto puede ser bastante riguroso de una manera algo más intuitiva, ya que las distribuciones se ensanchan, por lo que la RMS esperada es creciente, pero al tomar proporciones contraemos la recta numérica de manera que se acortan para las proporciones, ya que se contraen cada vez más, lo que es un argumento totalmente riguroso.