Demostrar que lim $(\sqrt{n^2+n}-n) = \frac{1}{2}$

Question

Esta es la pregunta: Demostrar que lim $(\sqrt{n^2+n}-n) = \frac{1}{2}$

Aquí está mi intento de solución, pero por alguna razón, el $N$ que llego es incorrecto (he ejecutado un programa informático para probar mi solución con algunos casos de prueba, y arroja un error). ¿Alguien puede detectar el error?

$\left|\sqrt{n^2+n}-n-\frac{1}{2}\right| < \epsilon$

$\Rightarrow \left|\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} - \frac{1}{2}\right| < \epsilon$

$\Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} < \epsilon$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} > \frac{1}{2} - \epsilon = \frac{1-2 \epsilon}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} > \frac{1-2 \epsilon}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}}} > \frac{1-2 \epsilon}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{n} > \frac{1-2 \epsilon}{2}$

$\Rightarrow n > \frac{4 {\epsilon}^2-4 \epsilon +1}{4}$

Answer 1

(Otra solución más, ¡lo siento!) $$ \left(1 + \frac1{2n}\right)^2 = 1 + \frac1n + \frac1{4n^2} > 1 + \frac1n, $$ por lo tanto $$ \sqrt{1 + \frac1n} < 1 + \frac1{2n}, $$ por lo tanto $$ \sqrt{n^2 + n} - n = n\left(\sqrt{1 + \frac1n} - 1\right) < \frac12, $$ sino también $$ \sqrt{n^2 + n} - n = \frac1{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} > \frac1{2\left(1 + \frac1{4n}\right)} > \frac{1 - \frac1{4n}}{2} = \frac12 - \frac1{8n}, $$ por lo tanto $$ \frac12 - \epsilon < \sqrt{n^2 + n} - n < \frac12 \quad \left(\epsilon > 0, \ n \geqslant \frac1{8\epsilon}\right). $$

Answer 2

Aquí tienes una solución de nivel de bachillerato utilizando la regla de L'Hôpital,

$ \lim{\sqrt{n^2+n} -n} = \infty - \infty $

Podemos escribir la relación límite de la siguiente manera para poder utilizar la regla de L'Hôpital.

$ \lim{~n(\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)} = \infty \times 0 $

reescribiendo la expresión como:

$\lim{\frac{(\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)}{\frac{1}{n}}} $

ahora puede tomar las derivadas del numerador y el denominador como sigue y resolver el problema:

$ \lim{\frac{\frac{-1}{2n^\frac{3}{2}\sqrt{n+1}}}{\frac{-1}{n^2}}} = \lim~\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

donde $\lim~\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{2}$

Answer 3

Tal vez la respuesta que da la pista directa sobre lo que está pasando es pasar por una prueba que

$$\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+n+c_2}-n)-(\sqrt{n^2+n+c_1}-n)=0$$

o igualmente

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+n+c_2}-\sqrt{n^2+n+c_1}=0$$

Ahora escribe esto para que sea obvio como

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+n+c_1}}(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{c_2}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{c_1}{n^2}}}-1)=0$$

Así que podemos elegir la constante que queramos. Elegimos $\frac{1}{4}$ y tienen

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+n}-n=\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2+n+\frac{1}{4}}-n)=$$ $$\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2}-n)=\lim_{n \to +\infty} n+\frac{1}{2}-n=\frac{1}{2}$$

Answer 4

Utilización de la teorema del binomio fraccionario tenemos $$ \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{1/2}=1+\frac{1}{2n}+o\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr) $$ donde $o(1/n)$ denota una cantidad que crece asintóticamente más despacio que $1/n$ como $n\to\infty$ . Multiplicar por $n$ produce $$ \sqrt{n^2+n}=n+\frac{1}{2}+o(1), $$ que es equivalente al límite $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n^2+n}-n=\frac{1}{2}. $$

Answer 5

He aquí otra prueba. Sea $n = u-\frac{1}{2}$ . Entonces tenemos:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n(n+1)} - n$$ $$=\lim_{u \to \infty} \sqrt{\left(u-\frac{1}{2}\right) \left(u+\frac{1}{2}\right)} - u + \frac{1}{2}$$ $$=\lim_{u \to \infty} \sqrt{u^2-\frac{1}{4}} - u + \frac{1}{2}$$ $$=\lim_{u \to \infty} u - u + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$