¿Existe este límite de longitud de arco?

Question

Tenemos una curva parametrizada $\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^2}$ dado por $\gamma (t) = \langle e^t\cos (t), e^t\sin(t)\rangle$ . Quiero calcular la longitud de arco de esta curva en $[a,b]$ en general.

¿Siempre es posible? Por ejemplo, no estoy seguro de poder hacerlo cuando $a\rightarrow - \infty$ . Gracias

Answer 1

La longitud del arco para un $C^1$ curva en $[a,b]$ viene dada por $l(\gamma) = \int_a^b \|\dot{\gamma}(t)\| dt$ . Desde $\|\dot{\gamma}(t) \| = \sqrt{2}e^{t}$ tenemos $l(\gamma) = \sqrt{2}(e^{b}-e^{a})$ .