Campos intermedios entre $\mathbb{Q}(\zeta)$ y $\mathbb{Q}$

Question

$\newcommand{\Span}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$$\DeclareMathOperator { \Gal }{Gal}$ >Deja $\zeta$ sea una raíz séptima primitiva de la unidad. Encuentra todos los subgrupos de $\Gal(\mathbb{Q}(\zeta))$ y los campos intermedios correspondientes.

Mi intento:

Lo sé por los teoremas: $\Gal(\mathbb{Q}(\zeta))\cong U(Z_7)$ Grupo de unidades en $Z_7$ . Es decir $\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Y calculando los órdenes de los elementos uno por uno vi que:
$\{1,2,4\}=\Span{2}$ y $\{1,6\}=\Span{6}$ son subgrupos de $U(Z_7)$
¿Hay una forma mejor de hacerlo?

Entonces por el teorema de correspondencia de Galois hay dos campos intermedios, $H,K$ entre $\mathbb{Q}(\zeta)$ y $\mathbb{Q}$ tal que..:
$[\mathbb{Q}(\zeta):H]=3$ y $[\mathbb{Q}(\zeta),K]=2$
¿Podemos encontrar estos campos intermedios de forma explícita?

Agradezco su ayuda

Answer 1

$\newcommand{\Span}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$$\newcommand { \Q }{ \mathbb {Q}} $$\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}$$\newcommand { \Z }{ \mathbb {Z}}$ Primero hay que tener en cuenta que un generador de $G = \Gal(\Q(\zeta)/\Q)$ es $g : \zeta \mapsto \zeta^{3}$ . Por la correspondencia de Galois tenemos para los campos intermedios:

• $H$ es el conjunto de puntos fijos del subgrupo $\Span{g^{2}}$ de orden $3$
• $K$ es el conjunto de puntos fijos del subgrupo $\Span{g^{3}}$ de orden $2$

Dado que el polinomio mínimo de $\zeta$ en $\Q$ es $1 + x + \dots + x^{6}$ los elementos $1, \zeta, \dots, \zeta^{5}$ son independientes sobre $\Q$ y, por lo tanto, también $$ \tag{indep} \text{$\zeta , \zeta ^{2}, \dots , \zeta ^{6} $ are independent over $\Q$} $$

Ahora bien, tenga en cuenta que

• $\alpha = \zeta + \zeta^{g^{2}} + \zeta^{g^{4}}$ se fija en $g^{2}$ pero no está fijado por $g$ por (indep)
• $\beta = \zeta + \zeta^{g^{3}}$ se fija en $g^{3}$ pero no está fijado por $g$ por (indep)

Por lo tanto, $H = \Q(\alpha)$ y $K = \Q(\beta)$ .