Por lo que el máximo positivo $k$ es $2n \sin^{2} \frac{\pi}{n} > \tan \frac{k\pi}{n}$ ¿Es cierto?

Question

Estoy tratando de encontrar el valor máximo de $k$ tal que la desigualdad $$2n \sin^{2} \frac{\pi}{n} > \tan \frac{k\pi}{n}$$ está satisfecho. Impongo restricciones que $n \in \mathbb{Z}$ con $n \geq 5$ y $k \in \mathbb{Z}$ con $k \leq \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ . Si $n$ es muy grande, puedo expandir la desigualdad en series de Taylor para obtener que $2\pi >k$ Así que $k \leq 6$ .

¿Cómo podría encontrar el mayor límite superior para $k$ para las pequeñas y medianas empresas $n$ ? Sospecho que todavía tengo $k \leq 6$ pero no puede probarlo ni refutarlo. Debo añadir que sólo necesito un límite superior para $k$ en lugar de un valor exacto.

Gracias...

Answer 1

Dejemos que $$ f(x)=\frac{x}{\pi}\,\arctan\Bigl(2\,x\sin^2\frac{\pi}{x}\Bigr),\quad x>0. $$ Entonces $k=\lfloor\, f(n)\rfloor$ . Usando eso $\arctan x<x$ y $\sin x<x$ si $x>0$ vemos que $$ f(x)<\frac{x}{\pi}\,\arctan\Bigl(\frac{2\,\pi^2}{x}\Bigr)<2\,\pi<7. $$ Además, $\lim_{x\to\infty}f(x)=2\,\pi$ . Así, $k\le6$ para todos $n$ y $k=n$ para todos $n$ lo suficientemente grande. Se puede demostrar que $f$ es creciente, y el cálculo directo muestra que $k=6$ para todos $n\ge53$ .