Definición ODE lineal

Question

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es lineal si $$F(t,y(t),...,y^{(n)}(t))=0$$ es lineal en cada derivada. Me encuentro con un pequeño problema al utilizar esta definición para la ecuación $$y'y=0$$

porque tenemos que $$F(t,\alpha y_1(t)+\beta y_2(t),y'(t))=(\alpha y_1(t)+\beta y_2(t))y'(t)=\alpha y_1(t)y't(t) + \beta y_2(t)y'(t)\\ =\alpha F(t,y_1(t),y'(t)) + \beta F(t,y_2(t),y'(t))$$

y viceversa para $y'(t)$ . Esto demuestra que la EDO es lineal. Pero una definición equivalente de linealidad dice que tiene que tener la forma

$F(t,y(t),...,y^{(n)}(t))=\sum_{k=0}^n a_i(t)y^{(i)}(t) - g(t)=0$

Con esta definición la EDO ya no es lineal. No estoy seguro de cuál es mi error.

Answer 1

Tenemos $F(t,y(t),y’(t))=yy’$ . Tenga en cuenta que $$F(\alpha t, \alpha y(t), \alpha y’(t)) =\alpha^2yy’ \neq \alpha yy’=\alpha F(t,y(t),y’(t))$$

y por lo tanto $F$ no es lineal en sus argumentos, lo que implica que no es una ecuación diferencial lineal utilizando su primera definición.

Answer 2

El problema es $y^{(n)}$ dependen de $y$ Así que su definición no es sólida. Los operadores derivados son lineales por defecto, por lo que la ecuación es lineal si es lineal en $y$

Dejemos que

$$ F(y) = y'y $$

Entonces

$$ F(ay_1 + by_2) = (ay_1' + by_2')(ay_1+by_2) $$

mientras que

$$ aF(y_1) + bF(y_2) = ay_1'y_1 + by_2'y_2 $$

lo que significa

$$ F(ay_1+by_2) \ne aF(y_1) + bF(y_2) $$

Por lo tanto, $F(y)$ no es un operador lineal.