¿Es $\bigl(X(X-a)(X-b)\bigr)^{2^n} +1$ un polinomio irreductible sobre $\mathbb{Q}[X]$?

Question

Deja que $a, b \in \mathbb{Q}$, con $a\neq b$ y $ab\neq 0$, y $n$ un entero positivo.

¿Es irreductible el polinomio $\bigl(X(X-a)(X-b)\bigr)^{2^n} +1$ sobre $\mathbb{Q}[X]$?

Sé que $\bigl(X(X-a)\bigr)^{2^n} +1$ es irreductible sobre $\mathbb{Q}[X]$, pero me cuesta generalizar mi prueba con tres factores.

PD: Esto no es tarea (e incluso puede estar abierto).

Answer 1

Llama a <span class="math-container">$f$</span> tu polinomio. Entonces <span class="math-container">$f$</span> no es irreductible si y sólo si existe una raíz <span class="math-container">$x\in\mathbb{Q}$</span> de <span class="math-container">$f$</span>. Si existe tal raíz entonces, para <span class="math-container">$n\geq 1$</span> tenemos <span class="math-container">$$0\leq(x(x-a)(x-b))^{2^n}=-1.$</span>

Os dejo el caso <span class="math-container">$n=0$.</span>