¿Equivalencia de productos internos?

Question

Por lo tanto, dejemos que $\langle \cdot, \cdot \rangle_{1}$ y $\langle \cdot, \cdot \rangle_{2}$ sean productos internos en un espacio vectorial real $V$ . Supongamos que \begin {align} \langle v, v \rangle_ {1} = \langle v, v \rangle_ {2} \end {align} para cualquier $v \in V$ .

¿Es cierto que $\langle v, w \rangle_{1} = \langle v, w \rangle_{2}$ para todos $v,w \in V$ ?

Sólo se me ocurren dos productos internos en un espacio vectorial real $V$ son el producto punto estándar y el producto punto escalado. Esto es válido para estos dos, ya que el producto punto escalado requeriría que todos los escalares fueran 1. ¿Se le ocurre a alguien otro producto interno sobre $V$ para probar esto, o debería empezar a probarlo?

Answer 1

Por cada $v,w \in V$ y $c$ real $$ \langle v+cw,v+cw\rangle_1=\langle v+cw,v+cw\rangle_2 $$ o $$ \langle v,v\rangle_1+2c\langle v,w\rangle_1+c^2\langle w,w\rangle_1= \langle v,v\rangle_2+2c\langle v,w\rangle_2+c^2\langle w,w\rangle_2 $$ y por lo tanto, como $\langle v,v\rangle_1=\langle v,v\rangle_2$ y $\langle w,w\rangle_1=\langle w,w\rangle_2$ entonces $$ \langle v,w\rangle_1=\langle v,w\rangle_2. $$

Answer 2

Aunque la respuesta de Yiorgos S. Smyrlis es más sencilla, creo que es útil tener una prueba un poco diferente, sólo para añadir otro punto de vista del mismo argumento, que siempre es bueno :)

Considere la norma $\| \cdot \|_1$ inducido por $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$ y la norma $\| \cdot \|_2$ inducido por $\langle \cdot , \cdot \rangle_2$ . Por hipótesis y definición de norma inducida $$\| v \|_1^2 = \langle v, v \rangle_1= \langle v, v \rangle_2= \| v \|_2^2 $$ $\forall v \in V$ . Así que el dos normas son iguales (el poder no hace ningún problema gracias a la positividad de la norma).

Entonces queremos hacer el razonamiento inverso, si dos productos-normas inducidos coinciden en cada elemento del espacio, ¿qué podemos decir de los productos internos?

Es inmediato (y se deja como pequeño ejercicio para el lector -sólo hay que escribir las definiciones y usar la bilinealidad-) demostrar que dado un producto interior real y su norma la siguiente equivalencia es cierta $$ \langle x,y \rangle = \dfrac{1}{4} \left( \|x+y \|^2 - \|x-y\|^2 \right) $$ Esta fórmula se llama la identidad de polarización (para más información, véase aquí )

Así que por la identidad anterior y la hipótesis tenemos, $$ \langle x,y \rangle_1 = \dfrac{1}{4} \left( \|x+y \|_1^2 - \|x-y\|_1^2 \right) = \dfrac{1}{4} \left( \|x+y \|_2^2 - \|x-y\|_2^2 \right) = \langle x,y \rangle_2 $$ $\forall x,y \in V$ y así hemos terminado.

Quería destacar la correlación de profundidad entre un producto interior y su norma inducida, y mostrar algunas herramientas útiles. Espero que te sirva de ayuda :)