La superficie compacta con curvatura gaussiana es positiva, negativa y nula

Question

Tengo una pregunta sobre un ejercicio de do Carmo, Geometría diferencial, p. 282:

Dejemos que $S$ sea una superficie regular, compacta y orientable que no sea homeomorfa a una esfera. Demostrar que hay puntos en $S$ donde la curvatura gaussiana es positiva, negativa y cero.

Creo que un toroide podría ser un ejemplo, pero eso, por supuesto, no es una prueba. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

(Estrictamente hablando, necesitamos $S$ para ser conectado también, de lo contrario la unión disjunta de dos esferas proporciona un contraejemplo).

"Homeomórfico" es un indicio de que tenemos que buscar una conexión entre topología y geometría. Empecemos con el teorema de Gauss-Bonnet: la integral de la curvatura total es igual a $2\pi$ veces la característica de Euler.

Como nuestra superficie no es una esfera, su característica de Euler es no positiva. Como la superficie es compacta, hay al menos un punto con todas las curvaturas principales positivas, por lo que su curvatura de Gauss es positiva al menos en un pequeño conjunto abierto. No puede ser positiva en todas partes porque, de lo contrario, su integral sería positiva, en contradicción con Gauss-Bonnet. Por tanto, la curvatura de Gauss toma valores negativos. Por el teorema del valor intermedio, debe existir un conjunto donde la curvatura de Gauss sea igual a cero.