Consideremos una cuerda semi-infinita estirada entre $2$ puntos fijos. Sea $u(x, t)$ sea el desplazamiento de una cuerda, en la posición $x$ y el tiempo $t.$
Describimos la ecuación de onda mediante: $$u(x, t) = h_1(x − ct) + h_2(x + ct)$$ para funciones arbitrarias $h_1(z)$ y $h_2(z).$
La cadena está sujeta a condiciones de contorno: $$u(0, t) = u(1, t) = 0 ,\: t > 0.$$
La cuerda tiene un desplazamiento inicial $u(x, 0) = f(x), x ∈ (0, 1)$ y está inicialmente en reposo.
Utilice la separación de variables para encontrar el desplazamiento de la cadena para $\textbf{t > 0.}$
Utilizando la identidad $\sin \theta \cos \phi =\frac{1}{2}(\sin(\theta − \phi) + sin(\theta + \phi))$ y el problema de valor límite de Sturm Liouville
$X''(x) + λX(x) = 0; X(0) = X(1) = 0$ tiene valores propios $λ_n = n^2π^2$ con las correspondientes funciones propias $X_n(x) = sin (nπx)$ .
, reescriba su respuesta en la misma forma que $$u(x, t) = \frac{1}{2}(\overset{ˆ}{f}(x − ct) + \overset{ˆ}{f}(x + ct))$$
He hecho la primera parte de esta pregunta que me proporcionó la mayor parte de la información aquí, pero realmente no tengo idea de cómo dibujar todo esto juntos. Estoy desesperado en este momento por lo que cualquier ayuda sería apreciada.
Hasta ahora esto es lo que he hecho:
$$u_{tt} = c^2 u_{xx}$$ en $0 < x < 1$ sujeta a las condiciones iniciales y de contorno (homogéneas) de Dirichlet dadas anteriormente.
Utilice la separación de variables y deje que $u = P(t)Q(x)$ . Los problemas para $P$ y $Q$ son EDOs de segundo orden:
$$ P''/(c^2 P) = Q''/Q = \lambda$$
Dónde $\lambda$ es una constante de separación. Las únicas funciones que satisfacen $Q(0) = Q(1) = 0$ son
$$ Q_n(x) = \sin(n \pi x), \quad n = 1, 2, \ldots$$
donde he hecho $|\lambda| = n^2 \pi^2$ .
Busco soluciones $u$ en la forma más general
$$ u = \sum_{n=1}^\infty P_n(t) Q_n(x), $$
porque hay infinitas eigenfunciones $Q_n$ . A partir de la EDP, se tiene
$$ \sum_{n=1}^\infty (Q_n P''_n - c^2 Q''_n P_n) = \sum_{n=1}^\infty Q_n [ P''_n + (n \pi c)^2 P_n ] = 0$$
Ahora, aprovecha las propiedades de ortogonalidad de $Q_n$ para encontrar una ecuación para $P_n(t)$ (en este caso es trivial), a resolver con condiciones iniciales \begin {align} & u = 0 \implies P(0) = 0 \\ & u_t = f(x) \implies P'_n(0) = \frac { \int ^1_0 Q_n(x) f(x) \N -, \mathrm {d}x}{ \int ^1_0 Q^2_n(x) f(x) } \end {align}
