¿Cómo restar dos ecuaciones?

Question

Estoy trabajando en un problema de física en el que me dicen que hay dos preguntas:

EQ1:

$$ W = \left(\frac{\mu_0}{2\pi}\right)\left(\frac{L}{R}\right)I_1^2+I_1LB_{e,z} $$

EQ2:

$$ W = \left(\frac{\mu_0}{2\pi}\right)\left(\frac{L}{R}\right)I_2^2-I_2LB_{e,z} $$

Supuestamente, si se resta E2 de E1 es igual:

$$ B_{e,z} = \left(\frac{\mu_0}{2\pi R}\right)(I_2-I_1) $$

¿Cómo es posible? ¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Restando las dos ecuaciones se obtiene

\begin {align} W -W &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right )I_1^2+I_1LB_{e,z} - \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right )I_2^2+I_2LB_{e,z} \\ [2ex] 0 &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right )(I_1^2-I_2^2)+(I_1+I_2)LB_{e,z} \\ [2ex] -(I_1+I_2)LB_{e,z} &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right )(I_1^2-I_2^2) \\ [2ex] (I_1+I_2)B_{e,z} &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {1}{R} \right )(I_2^2-I_1^2) \\ [2ex] B_{e,z} &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi R} \right ) \frac {(I_2^2-I_1^2)}{(I_1+I_2)} \\ [2ex] \end {align}

Por último, observe que

\begin {align} \frac {(I_2^2-I_1^2)}{(I_1+I_2)} &= \frac {(I_2-I_1)(I_1+I_2)}{(I_2+I_1)}= (I_1-I_2). \end {align}

Answer 2

Restando la segunda ecuación de la primera, \begin {align*} W-W &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_1^2+I_1LB_{e,z} - \left ( \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_2^2-I_2LB_{e,z} \right ) \\ 0 &= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_1^2- \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_2^2+(I_1LB_{e,z}+I_2LB_{e,z} ) \\ -(I_1LB_{e,z}+I_2LB_{e,z})&= \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_1^2- \left ( \frac { \mu_0 }{2 \pi } \right ) \left ( \frac {L}{R} \right ) I_2^2 \\ -B_{e,z}(I_1+I_2)L &= \frac { \mu_0 }{2 \pi R}(I_1^2-I_2^2) L \\ -B_{e,z}(I_1+I_2)L &= \frac { \mu_0 }{2 \pi R}(I_1-I_2)(I_1+I_2) L \end {align*} Suponiendo que $L \neq 0$ y $I_1+I_2 \neq 0$ podemos cancelar los de ambos lados para obtener $-B_{e,z} = \frac{\mu_0}{2\pi R}(I_1-I_2)$ Así que $B_{e,z}=\frac{\mu_0}{2\pi R}(I_2-I_1)$ .