¿Cuándo se igualan dos funciones?

Question

¿Cuándo se igualan dos funciones?

He tropezado con esta definición de igualdad de funciones en el análisis real elemental.

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos conjuntos. Sea $f:X\rightarrow Y$ y $g:X\rightarrow Y$ sean dos funciones. $f=g$ si $f(x)=g(x)$ para todos $x\in X$ .

Por supuesto, esta definición es tan estándar y no tengo ningún problema con ella. Sin embargo, hasta donde yo sé, esta definición es en realidad un teorema. Se puede demostrar en la teoría de conjuntos ZFC. Una función es sólo un conjunto de pares ordenados (con algunas condiciones). Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos (Axioma de Extensionalidad). Con esta suposición, se puede demostrar la definición anterior. Sin embargo, la prueba no requiere que los rangos de $f$ y $g$ tiene que ser el mismo.

Supongamos que los rangos son diferentes, digamos $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $f(x)=x$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ definido por $g(x)=x$ . Si consideramos estas funciones como conjuntos de pares ordenados, entonces son sólo el conjunto $\lbrace (x,x):x\in\mathbb{R}\rbrace$ . Por tanto, son iguales por el axioma de la extensionalidad. Sin embargo, la igualdad también requiere que si los objetos $a$ y $b$ son iguales, entonces cualquier propiedad que sea verdadera para $a$ también es cierto para $b$ . En este caso, sabemos que $f$ es un suryecto, pero $g$ no lo es. Así, $f$ no debe ser igual a $g$ y, por tanto, una contradicción. Pero esto no es una prueba por contradicción para demostrar que los rangos deben ser iguales, todo lo que se asume aquí son sólo axiomas de ZFC y lo que es la igualdad en sí misma. Así que parece que es inconsistente.

He buscado preguntas similares en este sitio web, pero no hay ninguna pregunta o respuesta que se relacione con esto. La respuesta más relacionada sería $f$ y $g$ deben tener el mismo rango para que no haya problemas. Pero lógicamente, esto es sólo una suposición adicional para restringir la capacidad de comparar dos funciones. Si no tienen el mismo rango, entonces no se puede comparar, o habrá una paradoja. El problema de esta respuesta es que no resuelve la paradoja anterior. Sólo se limita a la situación de que la paradoja no se produzca, pero la inconsistencia sigue ahí.

Por último, encontré otra forma de resolver este problema en un libro de teoría de conjuntos. En el libro, cuando uno considera la suryección, tiene que especificar sobre qué conjunto es la suryección. Por ejemplo, hay que decir si se trata de una suryección sobre $\mathbb{R}$ o la proyección sobre $\mathbb{C}$ . En este caso, la paradoja no se producirá porque $f$ y $g$ son ambas suryentes sobre $\mathbb{R}$ y no es suryente sobre $\mathbb{C}$ . Por lo tanto, la propiedad suryectiva es la misma para $f$ y $g$ . El único problema para esta respuesta es que, si se considera en cambio la propiedad de "suryección sobre su rango", entonces esta propiedad es verdadera para $f$ pero no para $g$ lo que implica que $f\neq g$ de nuevo.

¿Cuándo se igualan dos funciones en general? ¿Puede alguien aclararme esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

El problema es que hay dos convenciones ligeramente diferentes sobre lo que significa "función". La más común es que, para cualquier función, hay que especificar el codominio. Así, si dos funciones tienen diferentes codominios (por ejemplo $\Bbb R$ y $\Bbb C$ en su ejemplo), entonces son funciones diferentes, aunque tengan la misma gráfico . La otra convención es identificar la función con su gráfica, de manera que cualquier conjunto $f$ de pares ordenados $(x,y)$ tal que $y_1=y_2$ siempre que $(x,y_1)\in f$ y $(x,y_2)\in f$ es una función. Esta última convención es elegante y elimina el aparentemente innecesario codominio. Sin embargo, la propiedad de ser "sobre" se vuelve relativa -¿sobre qué? - y la idea de que una función es una suryección no puede utilizarse. Esto es importante en algunas ramas de las matemáticas, pero no en otras.

Answer 2

Estás confundiendo rango con codominio.

Si $f:X \to Y$ entonces $Y$ es el codominio; la definición intuitiva es que $Y$ le dice lo que tipo de valores $f(x)$ tiene ( $f(x)\in Y$ ). El rango es el conjunto real de valores de $\{f(x) \mid x \in X\}$ .

Si tiene $f$ representado como un conjunto de pares ordenados, puedes encontrar el dominio y el rango, pero no puedes encontrar el codominio $Y$ . (¿Cuál es el codominio de la función $\{ (1,1) \}$ ? Se podría decir $\{1\}$ o $\mathbb Z$ o $\mathbb Q$ etc.) Por lo tanto, $Y$ debe especificarse.

Ahora, cuando volvemos a la pregunta "¿cuándo son las funciones $f$ y $g$ igual?", la respuesta es: una función no depende de su relación $R_f$ un codominio $Y_f$ también debe suministrarse. A continuación, $$f=g \iff (R_f = R_g \wedge Y_f = Y_g).$$ La relación de equivalencia $$f\sim g \iff R_f = R_g$$ es, por tanto, útil la mayoría de las veces, pero no siempre (como has señalado).

Answer 3

La mayoría de las veces, no nos importa la definición teórica precisa del conjunto de una función $f \colon X \to Y$ y esta es la causa de su confusión.

Para responder a su pregunta, permítame hablar de una posible definición en ZF.

Para los conjuntos $a,b$ definimos su par ordenado como $(a,b) := \{ \{a\}, \{a,b\} \}$ . Siéntase libre de demostrar que $(a,b) = (c,d)$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$ .

Por inducción en el número de entradas, definimos un $(n+1)$ tupel por $(a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1}) := ((a_1, \ldots, a_n), a_{n+1})$ . De nuevo podemos demostrar $(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1,b_2, \ldots, b_n)$ si y sólo si $a_1 = b_1, \ldots, a_n=b_n$ .

Definimos $X_1 \times \ldots \times X_n := \{ (x_1, \ldots, x_n) \mid x_1 \in X_1, \ldots, x_n \in X_n \}$ . Por último, escriba $f \colon X \to Y$ y llamar a $f$ una función si $f \subseteq X \times Y$ y para todos $x \in X$ hay un único $y \in Y$ s.t. $(x,y) \in f$ . Escribimos $f(x)$ para este único $y$ .

Utilizando esta definición (que es probablemente la "estándar"), se puede leer fácilmente el dominio de $f$ , a saber $\operatorname{dom} f = \{ x \mid \exists y \in Y \colon (x,y) \in f \}$ y de forma similar se puede leer la imagen de $f$ .

Sin embargo, no se puede leer el codominio de $f$ . De hecho, dadas dos funciones $f,g$ con dominio $X$ s.t. $f(x) = g(x)$ para todos $x \in X$ En efecto, tenemos $f = g$ como conjuntos, sin importar cuáles sean sus codominios (siempre que incluyan la imagen de $f$ ). Como resultado de esto, la declaración " $f$ es sobreyectiva" no tiene realmente sentido, mientras que " $f$ es suryente en $Y$ " lo hace.

Si uno considera que esto no es deseable, hay una solución fácil: Definir una función $f \colon X \to Y$ para ser un subconjunto $f \subseteq X \times Y \times \{Y \}$ s.t. para cada $x \in X$ hay un único $y \in Y$ s.t. $(x,y,Y) \in f$ . Esto funciona bien siempre que no se quiera diferenciar entre funciones con dominio vacío.

Answer 4

Esta es una manera de responder a esto. Empezaré con el axioma de extensionalidad. Parece un axioma muy útil y de sentido común. Nos permite afirmar que las funciones son iguales dado que producen las mismas salidas con las mismas entradas. Bien.

Pero las cosas se complican cuando se choca este axioma con una definición de función que lleva consigo el bagaje extra de un dominio y un codominio. Su "objeto" funcional es ahora no sólo un conjunto de tuplas. Es ese conjunto más la información adicional de dominio y codominio. En este Con la definición de función, terriblemente engorrosa, se rompe el axioma de extensionalidad de sentido común.

Pero el axioma de la extensionalidad es tan útil, y tan de sentido común, que sería absurdo rechazarlo por paradójico. Así que nos queda examinar la definición de función. ¿Realmente queremos cargar con ese engorroso dominio y codominio? A todos los efectos matemáticos, no.

Más bien, lo que podemos hacer es considerar el dominio y el codominio no como integrales piezas de una función, sino que propiedades de esa función. Al igual que la longitud del camino más largo de un grafo es una propiedad del mismo y no es inherente al estructura del gráfico, también se puede ver el dominio y el codominio de una función. Decir que una función tiene un determinado dominio/co-dominio es una sentencia de tipificación.

Esta visión de las cosas nos permite definir múltiples dominios/dominios para el mismo función. Por ejemplo, mira la función $\lambda x \rightarrow 2x$ . Podemos decir que el dominio son los números enteros, y el codominio los números enteros pares. O que tanto el dominio como el codominio son los números reales. Lo que quiero decir es que son propiedades de la función, no una parte de la función misma. Por lo tanto, la siguiente afirmación que aparece en la pregunta ya no conduce a una contradicción:

la igualdad también requiere que si los objetos $a$ y $b$ son iguales, entonces cualquier propiedad que sea verdadera para $a$ también es cierto para $b$

Podría seguir hablando de la igualdad sintáctica frente a la igualdad semántica, y de la importancia de estas cosas cuando se trabaja con sistemas de pruebas formales, pero creo que lo anterior es suficiente para el alcance de la pregunta.

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Edición: Me he adelantado un poco. El ejemplo $\lambda x \rightarrow 2x$ como bien ha señalado el comentarista de abajo, es en realidad una clase de función. También se le llama a veces función polimórfica. La respuesta de Carl Heckman identifica correctamente la extensionalidad como una relación de equivalencia en lugar de una igualdad "verdadera" (sea lo que sea que eso signifique). Pero es una relación de equivalencia que podemos utilizar como si fuera una igualdad la mayor parte del tiempo. John Bentin también arroja algo de luz sobre la utilidad del codominio, y debo retractarme un poco de mi anterior rechazo de esta característica "a todos los efectos matemáticos". La respuesta de Stefan ofrece otra perspectiva. Si nos olvidamos de los tipos y volvemos a los conjuntos, realmente no necesitamos la idea de dominio/co-dominio. Sin embargo, personalmente prefiero que los tipos estén ahí, aunque normalmente en el fondo como una suposición implícita.