He buscado en Internet pero no he encontrado una explicación clara de cómo puedo encontrar los valores y vectores propios de las matrices de permutación.
¿alguien puede ayudar?
por ejemplo: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. $$
Dado que las matrices ortogonales son unitarias, son en particular normales y por tanto admiten una base ortogonal de vectores propios. Por tanto, pueden ser diagonalizadas unitariamente; lo que utilizaremos aquí es la diagonalización en bloque.
Así que trabajaré con tu ejemplo. La permutación, actuando sobre la base canónica, es $$ Se_1=e_4, Se_2=e_5, Se_3=e_2, Se_4=e_1, Se_5=e_3. $$ Así que los ciclos son $$ (1\ 4)(2\ 5\ 3). $$ Esto significa que la reordenación de la base como $e_1, e_4, e_2, e_5, e_3$ la permutación $S$ se representará como $$ \begin{bmatrix} 0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&0 \end{bmatrix} $$ En este punto, los valores propios de $S$ vienen dados por los valores propios de $\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{bmatrix} $ . Siempre serán matrices cíclicas. Así que hay matrices $S_k$ tal que $S_k^k=I$ . Así que sus valores propios son los $k^{\rm th}$ raíces de la unidad.
En su ejemplo los valores propios (contando las multiplicidades) son $$ 1,-1, 1, \frac{-1+i\sqrt3}2, \frac{-1-i\sqrt3}2. $$
En general, si su permutación es un producto de ciclos de longitud $n_1,\ldots,n_r$ entonces los valores propios serán $$ \bigoplus_{j=1}^r\{e^{2\pi i \ell / n_1}:\ \ell=0,\ldots,n_1-1\}. $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
