Si $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ es diferenciable, $g$ es continua, y $f'(t) = g(f(t)),$ entonces $f$ es monótona.
Ejemplo 1: Supongamos que $g(x) = x \Rightarrow f' = f.$ Entonces $f = ce^x$ que sí es monótona.
Ejemplo 2: Supongamos que $g(x) = x^n \Rightarrow f' = f^n$ para $n \ne 1.$ Entonces $df/f^n = dx \Rightarrow x+C = f^{1-n}/(1-n) \Rightarrow f = ((1-n)x + C)^{1/(1-n)},$ monótona de nuevo.
Parece extraño que $g$ puede ser cualquier cosa que queramos, y sin embargo el resultado será verdadero. Como $f$ es continua, basta con demostrar que $f$ es inyectiva. Así que supongamos $f(a) = f(b)$ con $a<b.$
Avenida 1: Entonces $f'(a) = g(f(a)) = g(f(b)) = f'(b).$ Pero, ¿qué es lo siguiente? Esto parece un callejón sin salida.
Avenida 2: Existe $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$ por el Teorema de Rolle. Por lo tanto, $g(f(c)) = 0.$ Pero, ¿qué es lo siguiente? Parece que de nuevo otro callejón sin salida.
¿Hay una tercera avenida? He estado buscando una. Hasta que no la encuentre, no podré creer el resultado.
Actualización: La respuesta aquí resuelve mi pregunta. La pregunta también apareció anteriormente en MSE pero no me gusta el método utilizado ya que parece asumir $f'$ es continua.
