Combinación de ecuaciones diferenciales

Question

¿Puede alguien ver cómo combinar las siguientes 3 ecuaciones

$$\dot r^2-\dot\theta^2=-\theta^2$$ $$\theta\ddot \theta-2\dot \theta^2=2(\dot r^2-\dot \theta^2)$$ $$\dot r=a \theta^2$$ para conseguir $$\theta^2=r^2+cr+d$$ donde $c,d$ ¿son constantes?

He probado varias formas de sustituir una por otra, pero acabo con órdenes de derivadas muy altas, cuya resolución no creo que deba ser necesaria.

Lo que hice fue (2)-(1) y luego sustituir en (3), dando $$(a-1)\theta^2=\theta\ddot\theta-\dot\theta^2$$ Así que necesito que el RHS sea $$(a-1)r^2+Ar+B$$ para algunas constantes $A,B$ ? ¿Pero cómo?

¿o tal vez empezar de otra manera?

Answer 1

Creo que he encontrado la solución. Sólo necesitas la primera ecuación y la tercera.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que

$$\frac{d\theta}{dr}=\frac{\dot\theta}{\dot r} \; .$$

A continuación, divide la primera ecuación por ${\dot r}^2$ para conseguir

$$1-\frac{\dot\theta^2}{\dot r^2}=-\frac{\theta^2}{\dot r^2}$$

Utilizando la tercera ecuación y reordenando, se puede transformar esto en

$$1+\frac{1}{a^2\theta^2}=\left(\frac{d\theta}{dr}\right)^2$$

Toma la raíz cuadrada y puedes integrar fácilmente por separación de variables para dar el resultado buscado.