Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito. Entonces existe una partición $\lbrace A, B \rbrace$ de $X$ tal que $A, B, X$ son equívocos.
¿Puede demostrarlo en $\mathrm{ZFC}$ ?
¿Puede demostrarlo en $\mathrm{ZF}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos demostrarlo en $\operatorname{ZFC}$ pero no en $\operatorname{ZF}$ :
En $\operatorname{ZFC}$ hay algún ordinal inicial $\kappa$ y una bijecion $f \colon \kappa \to X$ y también alguna biyección $g \colon \kappa \times 2 \to \kappa$ (la función $g$ existe también si dejamos de lado la elección, pero $f$ puede no existir). Sea $h = f \circ g$ , $A = \{ h(\xi, 0) \mid \xi < \kappa \}$ y $B = \{ h(\xi, 1) \mid \xi < \kappa \}$ . Claramente $A \cong B \cong X \cong \kappa$ .
Por otro lado, si dejamos de lado la elección, puede haber algún infinito, pero Dedekind finito set $X$ y esos conjuntos ni siquiera permiten un subconjunto adecuado $A$ que está en biyección con $X$ .
