¿Esta transformación tiene una inversa?

Question

Dejemos que $f(n)$ sea una secuencia compleja. Entonces para el primo $p$ definir $\hat{f}(p) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_n e^{-i 2 \pi n / p}$ . Entonces dejemos que la transformación de las secuencias sea $T$ es decir $Tf = \hat{f}$ . ¿Existe una transformación inversa? La secuencia de resultados de la transformación es compleja, indexada por los primos.

En otras palabras, ¿la matriz infinita $$ \begin{pmatrix} z^{k/p_j} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{pmatrix} \text{ where } z = e^{-i 2 \pi} \text{ and element $ z^{k/p_j} $ is in row $ j $, column $ k $, $ p_j $ is the $ j $th prime.} $$ tienen un inverso.

¿Cómo lo solucionaría?

Relajemos la restricción de que $\hat{f}$ secuencia debe ser de índice primo y decir que tiene el mismo índice que $f$ .

Answer 1

Veamos si las matrices cuadradas de dimensión finita de esta forma tienen una inversa.

Dejemos que $A = $

$$ \begin{pmatrix} z^{1/2} & z \\ z^{1/3} & z^{2/3} \end{pmatrix} $$

Es $\det$ es $z^{1/2}z^{2/3} - zz^{1/3} = z^{7/6} - z^{4/3} \neq 0$ desde $z^{7/6 - 4/3 = -1/6} \neq 1$ .

Su inversa es $\cdots$

Esto parece tedioso. Un ordenador debería hacerlo.