Es bien sabido que un $\{0, \pm 1\}$ matriz $A$ es totalmente unimodular (TUM) si y sólo si la matriz $A'$ obtenido de $A$ por la operación de pivoteo es totalmente unimodular.
En este caso, al pivotar un elemento $a_{ij}\neq 0$ se define multiplicando primero la fila $a_i$ por $1/a_{ij}$ para hacer $a_{ij}'=1$ y luego añadir la fila $a_i'$ a las otras filas $a_k, k\neq i$ tal que $a_{kj}=0$ (igual que la operación de fila elemental).
Mi pregunta es que para la siguiente matriz, parece que la TUM no se conserva bajo pivote.
$A=\begin{pmatrix} 1 &1&1 \\ 1&-1&0\\ 1&0&0\\ \end{pmatrix}.$
Aquí $A$ no es TUM ya que $\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1&-1\\ \end{pmatrix}$ tiene un determinante de $-2$ .
Por otro lado, si elegimos $a_{31}$ como pivote, entonces después de pivotar las dos primeras filas, la matriz se reduce a
$A'=\begin{pmatrix} 0 &1&1 \\ 0&-1&0\\ 1&0&0\\ \end{pmatrix},$
que es TUM.
Creo que debe haber algún error en mi comprensión, pero no he descubierto dónde. Gracias.
