Mapas afines e hiperplanos

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio afín unido a un $K$ -espacio vectorial $T$ y que $u:E\rightarrow K$ ser un no constante mapa afín. Tomemos $\lambda\in K$ y escribir $S:=\{x\in E\ |\ u(x)=\lambda\}$ . Queremos demostrar que $S$ es un hiperplano de $E$ es decir, que $S\ne\emptyset$ , $S$ es un subconjunto afín y $\text{codim}_K(D)=1$ , donde $D$ es la dirección $S$ .

En primer lugar, ¿por qué debería $S$ sea no vacía? Suponiendo que $S$ es efectivamente no vacía, podemos demostrar que $S$ es afín.

Ahora, ¿qué tal $\text{codim}_K(D)=1$ ? Toma $a\in S$ . Entonces $D=\{(x-a)+(y-a)\ |\ x,y\in S\}$ . ¿Cómo debo proceder? ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dejemos que $T$ ser un $K$ -espacio vectorial, y $E$ sea el espacio afín asociado. Si $u: E \to K$ es un mapeo afín no constante, entonces existe ${\bf x}, {\bf y} \in E$ con $u({\bf x}) \neq u({\bf y})$ pongamos $$u({\bf x}) - u({\bf y}) = \alpha \neq 0.$$ Por la definición de un mapa afín, para cualquier $c\in K$ , $$u(c {\bf x} + (1-c) {\bf y}) = c u({\bf x}) + (1-c) u({\bf y}) = u({\bf y}) + c(u({\bf x}) - u({\bf y})) = u({\bf y}) + c\alpha$$ por lo que poner $c = \frac{\lambda - u({\bf y})}{\alpha}$ nos da un vector $\bf v$ con $u({\bf v}) = \lambda$ y así $S:=\{x\in E\ \mid u(x)=\lambda\}$ es no vacía.

Demostrar que tenemos un hiperplano es sencillo; hay un único lineal cartografía $v: T \to K$ tal que $u({\bf x} + {\bf y}) = u({\bf x}) + v({\bf y})$ para todos ${\bf x}, {\bf y} \in T$ (esto es ligeramente diferente de la formulación de Bourbaki, pero es equivalente; nótese que $u$ y $v$ pueden ser considerados como mapas $E \to K$ o $T \to K$ pero $u$ es afín y $v$ es lineal). Dado que $u$ no es constante, $v$ es un funcional lineal no nulo, por lo que $H = \{ {\bf x} \mid v({\bf x}) = 0 \}$ es un hiperplano de $T$ .