¿Es ésta una forma correcta de determinar qué grupos son isomorfos?

Question

Pregunta: Determina cuáles de los siguientes grupos son isomorfos.

$C_{4} \times C_{6} \times C_{21}$

$C_{3} \times C_{7} \times C_{24}$

$C_{2} \times C_{9} \times C_{28}$

$C_{3} \times C_{12} \times C_{14}$

Respuesta: Tenemos que todo grupo abeliano finito es isomorfo a un único producto directo canónico (¡véase mi comentario más abajo para tener una definición de lo que significa canónico!) de grupos cíclicos finitos por lo que basta con determinar a qué producto único es isomorfo cada uno de los grupos anteriores.

Para $C_{4} \times C_{6} \times C_{21}$ tenemos $C_{4} \times C_{6} \times C_{21} \cong C_{4} \times (C_{2} \times C_{3}) \times (C_{3} \times C_{7})$ desde $2,3$ y $3,7$ son coprimos.

Reordenar los productos no cambia el hecho de que los grupos sean isomorfos

$(C_{2} \times C_{4}) \times (C_3\times C_{3}) \times C_{7}$ A partir de aquí es fácil tomar el último término de cada producto (son coprimos por pares) y unirlos para obtener el siguiente producto directo canónico.

$C_{6} \times C_{84}$ .

Así que $C_{6} \times C_{84} \cong C_{4} \times C_{6} \times C_{21}$ .

Siguiendo el mismo método descubrimos que los tres grupos restantes son isomorfos a:

$C_{3} \times C_{168}$

$C_{2} \times C_{252}$

$C_{6} \times C_{84}$

respectivamente.

Por tanto, los únicos grupos isomorfos son el primero y el último de la lista.

Gracias.

Answer 1

Utilicemos el comentario de Andrew D.Hwang para ver si tienes razón.

Aquí utilizo su definición de producto canónico.

Los cuatro grupos son entonces respectivamente isomorfos a :

$C_4 \times C_2 \times C_3 \times C_3 \times C_7$

$C_3\times C_7 \times C_8\times C_3$

$C_2\times C_9 \times C_7 \times C_4$

$C_3\times C_3\times C_4 \times C_2 \times C_7$

Reorganizar los términos no cambia el isomorfismo, y así obtenemos que efectivamente sólo el primer y el cuarto grupo son isomorfos, como tú mismo has demostrado.