Dejemos que $Y$ sea un espacio normado de dimensión finita, $X$ un espacio normado, y $T: X \to Y$ un operador lineal suryente. Demuestre que $T$ es una cartografía abierta.

Question

Dejemos que $Y$ sea un espacio normado de dimensión finita, $X$ un espacio normado, y $T: X \to Y$ un operador lineal suryente. Demuestre que $T$ es una cartografía abierta.

Creo que si puedo demostrar que $T(B_X)$ contiene un balón abierto entonces he terminado donde $B_X$ es la bola unitaria en $X$ . Pero no soy capaz de demostrarlo. Necesito ayuda

Answer 1

1. Si $T$ es continua, entonces $\ker(T)$ es cerrado y el mapa cociente $$ \pi : X \to X/\ker(T) $$ es un mapa abierto. Además, $T$ induce un mapa inyectivo $$ S : X/\ker(T) \to Y $$ Desde $Y$ es de dimensión finita, también lo es $X/\ker(T)$ y así $S$ (cuyo rango es $Y$ ) es ahora un homeomorfismo. En particular, $S$ es un mapa abierto, por lo que $$ T = S\circ \pi $$ también está abierto.

2. Si $\dim(Y) = 1$ , entonces se deduce de un pregunta anterior que si $U$ es un conjunto abierto no vacío, entonces $T(U) = \mathbb{C}$ Por lo tanto, es, en particular, un mapa abierto.

3. No estoy seguro del caso general (si $T$ es discontinuo y $\dim(Y) > 1$ ), pero quizás alguien más pueda completar ese caso (no creo que la inducción funcione, pero quizás podría)