Un conjunto cerrado y acotado que no es de la forma $[a,b]$

Question

Esto es para real análisis. ¿Podría alguien dar un ejemplo?

Answer 1

¿Qué pasa con $\{1\} \cup \Big\{\frac{n}{n+1}; n \in \mathbb N \cup\{0\}\Big\}$ . También está el Conjunto Cantor .

Answer 2

Supongo que estás pensando en conjuntos cerrados $[a,b]$ donde $a \neq b$ . Sin embargo, el conjunto seguirá siendo cerrado si $a=b$ como $[a,a] = \{a \}$ por lo que los monotonos son cerrados. Además, la unión de conjuntos finitos es cerrada, por lo que para cualquier colección finita de puntos $\{x_i\}^n_{i=1}$ sabemos $$\bigcup_{i=1}^n \{x_i\} = \{x_i\}^n_{i=1}$$ está cerrado. De forma más general, dadas las colecciones $\{a_i\}^n_{i=1}, \space \{b_i\}^n_{i=1}$ donde $a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \ldots \leq a_n \leq b_n$ entonces $$\bigcup_{i=1}^n \left[a_i,b_i\right]$$ está cerrado. Segundo, $(a,b)$ es abierto, por lo que el complemento $(-\infty,a] \cup [b,\infty)$ está cerrado. Puedes combinar ambos ejemplos para obtener un tercero. El conjunto de enteros $\Bbb{Z}$ también está cerrado. ¿Puede demostrarlo?

Answer 3

En serio, ¿qué pasa con $[0,1] \cup [2,3]$ ?...