$\lim _\limits{n\to \infty }\left(4n^2\left(\frac{n^3+3n^2+3}{2n^3+n-1}\right)^n\right)$

Question

¿Cómo puedo calcular este límite? $\lim_\limits{n\to \infty }\left(4n^2\left(\frac{n^3+3n^2+3}{2n^3+n-1}\right)^n\right)\:$ ¿Puedo aplicar la regla $a_n+1/a_n$ para demostrar su convergencia?

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta que $$a_n:=4n^2\left(\frac{n^3+3n^2+3}{2n^3+n-1}\right)^n=4n^2\left(\frac{1+3/n+3/n^3}{2+1/n^2-1/n^3}\right)^n.$$ ¿Podemos decir que $a_n\sim\frac{4n^2}{2^n}$ ?

Answer 2

Otra pista: intente utilizar este hecho que $$\sqrt[n]{4n^2}\to1,~~\sqrt[n]{\left({\frac{n^3+3n^2+3}{2n^3+n-1}}\right)^n}\to 0.5$$ cuando $n\to\infty$ y así la serie correspondiente converge y así...