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Integral 10x2n+11x2dx con n

Encuentre una expresión general para 10x2n+11x2dx para todo n natural. ¿Existe algún algoritmo común para tales integrales?

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Godsaur Puntos 121

Dejemos que x2x entonces \begin {align} \int ^1_0 \frac {x^{2n+1}} \sqrt {1-x^2}}{ \rm d}x &= \frac {1}{2} \int ^1_0x^n(1-x)^{-1/2}\N- \rm d}x \\ &= \frac {1}{2} \beta\left (n+1, \small { \frac {1}{2}} \right ) \\ &= \frac {1}{2} \frac ¡{n! \sqrt { \pi }}{(n+ \frac {1}{2}) \frac {(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt { \pi }} \\ &= \frac {2^{2n}}{(2n+1) \binom {2n}{n}} \\ \end {align} si nN . De la misma manera, \begin {align} \int ^1_0 \frac {x^{2n}}{ \sqrt {1-x^2}}{ \rm d}x &= \frac {1}{2} \beta\left (n+ \small { \frac {1}{2}}, \small { \frac {1}{2}} \right ) \\ &= \frac {1}{2} \frac { \frac {(2n)!}{2^{2n}n!} \pi }{n!} \\ &= \frac { \pi }{2^{2n+1}} \binom {2n}{n} \end {align}

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