Integral $\int_{0}^{1} \frac{x^{2n +1}}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ con n

Question

Encuentre una expresión general para $$\int_{0}^{1} \frac{x^{2n +1}}{\sqrt{1 - x^2}} dx$$ para todo n natural. ¿Existe algún algoritmo común para tales integrales?

Answer 1

Dejemos que $x^2\mapsto x$ entonces \begin {align} \int ^1_0 \frac {x^{2n+1}} \sqrt {1-x^2}}{ \rm d}x &= \frac {1}{2} \int ^1_0x^n(1-x)^{-1/2}\N- \rm d}x \\ &= \frac {1}{2} \beta\left (n+1, \small { \frac {1}{2}} \right ) \\ &= \frac {1}{2} \frac ¡{n! \sqrt { \pi }}{(n+ \frac {1}{2}) \frac {(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt { \pi }} \\ &= \frac {2^{2n}}{(2n+1) \binom {2n}{n}} \\ \end {align} si $n\in\mathbb{N}$ . De la misma manera, \begin {align} \int ^1_0 \frac {x^{2n}}{ \sqrt {1-x^2}}{ \rm d}x &= \frac {1}{2} \beta\left (n+ \small { \frac {1}{2}}, \small { \frac {1}{2}} \right ) \\ &= \frac {1}{2} \frac { \frac {(2n)!}{2^{2n}n!} \pi }{n!} \\ &= \frac { \pi }{2^{2n+1}} \binom {2n}{n} \end {align}