Distribuciones multinomiales

Question

Estoy un poco confundido sobre el significado de las distribuciones multinomiales, al menos por lo que he deducido de la página de la wikipedia sobre la Distribución Multinomial. En esencia, una distribución multinomial es la forma generalizada de una distribución binomial. Es decir, los resultados son independientes, sin embargo hay k resultados posibles, cada uno con k éxitos, lo que da la función de masa de probabilidad:

$Mult(n, p_1, p_2, p_3, ..., p_n) = {n \choose x_1, x_2, ... x_n} p_1^{x_1} ...p_n^{x_n} $

Sin embargo, ¿no debería evaluarse sólo $X_1$ dar una distribución binomial ya que la multinomial es sólo una generalización de la misma? Pero echando eso, obtenemos $Mult(n, p_1) = {n \choose x_1} p_1^{x_1}$ que no puede convertirse en $Bin(n, p) = {n \choose x} p^x(1-p)^{n-x}$

¿Me estoy perdiendo algo en mi comprensión de una distribución multinomial? Y si es así, ¿cómo obtenemos entonces la binomial a partir de la ecuación multinomial?

Answer 1

Su fórmula para la distribución multinomial está un poco mal: debería haber $k$ diferentes $p$ s y $x$ s con $\sum_{i=1}^k x_i=n$ para que el coeficiente clave sea ${n}\choose{x_1,x_2,\ldots,x_k}$ . (Puede confirmarlo con Wikipedia .)

Para obtener la distribución binomial, tome $k=2$ , $x_1=x$ , $p_1=p$ y $p_2=1-p$ . Entonces tienes ${n}\choose{x_1,x_2}$$ p_1^{x_1}p_2^{x_2}= $$n\choose x_1$$ p^{x_1}(1-p)^{n-x_1}$, como se desea.