Pregunta sobre el camino más corto en la esfera

Question

Consideremos la siguiente parametrización de la esfera unitaria: $$X(u,v)=(\sin v \cos u , \sin v \sin u, \cos v)$$ donde $u \in (-\pi,\pi),v \in (0,\pi)$ . En primer lugar, me dicen que encuentre la longitud de la curva $u=u_0, t \in [a,b]$ , donde $u_0$ es una constante y $0<a<b<\pi$ (Yo llamo a esta curva $\alpha$ ). Es fácil ver que está dada por $b-a$ .

Después de eso, me dicen que demuestre que si $(u(t),v(t)), t \in [a,b]$ es una curva en $(-\pi,\pi) \times (0,\pi)$ entonces la curva en la superficie $\beta (t)=X(u(t),v(t))$ que satura el $\alpha(a)=\beta(a)$ y $\alpha(b)=\beta(b)$ tiene una longitud $\geq b-a$ .

Sé que existe algo llamado "geodésica", pero me gustaría demostrarlo explícitamente sin evocar ningún gran teorema.

He intentado calcular la longitud de $X(a(t),b(t))$ que viene dado por $$L=\int_a^b \sqrt{\sin ^2 (v(t)) (\frac{du}{dt})^2+(\frac{dv}{dt})^2}dt$$ Estoy atascado aquí. ¿Puede alguien darme alguna pista?

Answer 1

Bueno, \begin {align} L &= \int_a ^b \sqrt { \sin ^2 (v(t)) ( \frac {du}{dt})^2+( \frac {dv}{dt})^2}dt \\ &= \int_a ^b \sqrt { \sin ^2 v du^2+dv^2} \\ &= \int_a ^b \sqrt {(1+ \sin ^2 v(u))u'^2(v)}dv \\ & \ge \int_a ^b dv \end {align} El límite inferior se alcanza cuando $u'(v)=0$ es decir $u(v)=\text{Constant}=0$ . La longitud entonces es $b-a$ .