Simplificando $ x \leftrightarrow y$

Question

Al tratar de simplificar $ x \leftrightarrow y$ Me sale que siempre es falso, lo cual es un sinsentido, porque incluso por sentido común debería ser cierto cuando $x=y$ . ¿Cómo lo simplifico correctamente? Este es mi trabajo:

$$ x \leftrightarrow y=(x\to y)\land(y\to x)=(\neg x \lor y)\land(\neg y\lor x)\\ =((\neg x \lor y)\land \neg y)\lor ((\neg x\lor y)\land x)\\ =((\neg x \land \neg y)\lor (y\land \neg y))\lor((\neg x\land x)\lor(y\land x))\\ =(\neg x\land \neg y)\lor (x\land y)\\ =(\neg x\land \neg y\land x)\lor (\neg x\land \neg y\land y)=F$$

Answer 1

Creo que $(\lnot x \land \lnot y)\lor(x\land y)$ es bastante simple (y hasta esa línea todo está bien). Incluso sin el error de cálculo, creo que es donde deberías haber parado.

Estás distribuyendo incorrectamente. Tenemos $$ A\lor (B\land C) = (A\lor B)\land(A\lor C) $$ Has cambiado el $\land$ y $\lor$ del lado derecho en su última distribución. En su lugar, tenemos $$ (\lnot x \land \lnot y)\lor(x\land y) = ((\lnot x \land \lnot y)\lor x)\land ((\lnot x \land \lnot y)\lor y) $$ que puede distribuirse y simplificarse aún más para $$ ((\lnot x \lor x) \land (\lnot y\lor x))\land ((\lnot x\lor y) \land (\lnot y\lor y))\\ = (\lnot y\lor x)\land (\lnot x\lor y) $$ que es tan simple como $(\lnot x \land \lnot y)\lor(x\land y)$ pero no tan inmediatamente comprensible (al menos para mí).

Answer 2

Es la penúltima igualdad. No tenemos distributividad de $\wedge$ en $\vee$ como parece insinuar aquí.

Además, puede ver que tenemos antes que es correcto, informalmente en términos de declaraciones verdaderas y falsas. Has reexpresado " $x$ es verdadera si $y$ es verdadera" como "o bien $x$ y $y$ son ambos falsos, o x e y son ambos verdaderos".