Hadamard $\ell_p$ suma de dos matrices simétricas semidefinidas positivas

Question

¿Existe $p>1$ tal que para todo $n\geq 2$ , si $(a_{ij})$ y $(b_{ij})$ son simétricos semidefinidos positivos $n\times n$ matrices y $a_{ij}, b_{ij}\geq 0$ entonces $\bigl(\|(a_{ij},b_{ij})\|_p\bigr)=\bigl((a_{ij}^p+b_{ij}^p)^{1/p}\bigr)$ ¿también es semidefinido positivo?

Tal vez, una pregunta más simple: ¿es cierto para $p=2$ ?

Editado: La pregunta original no tenía la condición $a_{ij}, b_{ij}\geq 0$ . Si tomamos $b_{ij}=0$ es posible que $(|a_{ij}|)$ no es semidefinido positivo cuando $(a_{ij})$ es.

Answer 1

Parece que ya hay muchos contraejemplos cuando $n=3$ .

Toma $u=(0,1,1)$ y $v = (1,2,0)$ . Consideremos las matrices de rango 1 $A=u^{T}u$ y $B=v^{T}v$ . Entonces el $\ell^{p}$ La matriz de Hadamard es

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & (1+2^{2p})^{1/p} & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ cuyo determinante es $(1+2^{2p})^{1/p} - (1+2^{2}) <0$ para todos $p \in (1,\infty)$ . La última desigualdad se desprende de la superaditividad del mapa $x \mapsto x^{p}$ en $[0, \infty)$ para $p\geq 1$ .