Matemáticas discretas, relaciones de equivalencia

Question

Indique la razón concreta por la que el siguiente conjunto R no define una relación de equivalencia sobre el conjunto {1,2,3,4}.

R \={(1,1)(2,2),(3,3),(4,4),(2,3)(3,2),(2,4),(4,2)}

Reflexividad Para cualquier a ϵ S , aRa

Simetría Para cualquier a,b ϵ S , aRb <=> bRa

Transitividad Para cualquier a,b,c ϵ S si aRb y bRc, entonces aRc

No estoy seguro de cómo se pueden comparar simplemente los números. ¿Diría para (1,1) pensar en ello diciendo 1R1? Quiero decir que 1 es = 1. Pero cuando llegamos a 2,3 no funciona porque 2=2. Sé que me estoy perdiendo algo aquí. Me pregunto cómo podría resolver esto sin que me den una ecuación como x/y elemento de S, entonces podría decir xy=yx, tenemos x/yRx/y así que es reflexivo y así sucesivamente.

Answer 1

Debe interpretar el hecho de que $(1,1)\in R$ como significado $1R1,$ o en otras palabras que $1$ está relacionado con $1$ bajo la relación. Asimismo, $(2,3)\in R$ significa que $2R3$ para que $2$ está relacionado con $3.$ Esto no entra en conflicto con el hecho de que $2\ne 3$ ya que la relación $R$ no es la igualdad. Sin embargo, si $R$ es una relación de equivalencia la propiedad de reflexividad implica que $1R1, 2R2,$ etc. Por lo tanto, si son iguales, deben estar relacionados, pero lo contrario no es cierto: si no son iguales, pueden estar relacionados.

La condición de simetría dice que si $x$ si está relacionado con $y$ entonces $y$ está relacionado con $x.$ Así, por ejemplo, si $(2,3)\in R$ entonces debemos tener $(3,2)\in R.$ Esto se mantiene en su ejemplo por lo que este ejemplo es consistente con $R$ obedeciendo a la simetría. Si tuvieras $(2,3)\in R$ pero $(3,2)$ no estaba en $R,$ entonces se tendría un contraejemplo de simetría y se podría decir que $R$ viola la simetría y no es una relación de equivalencia. Sin embargo, mirando a su $R$ ves que tenemos $(2,4)\in R$ y $(4,2)\in$ lo cual es de nuevo consistente con la simetría, y no podemos encontrar ningún contraejemplo. Así que $R$ es una relación simétrica.

Así que queda la transitividad que dice que si jake es amigo de sally y sally es amiga de linda entonces jake es amigo de linda. Si se mira $R$ verás que $3$ es amigo de $2$ y $2$ es amigo de $4$ pero $3$ no es amigo de $4.$ Esto es una violación de la transitividad. Así que $R$ no es una relación de equivalencia.

Nota: Parece que confunde la igualdad con estar relacionado bajo $R$ así que añadiré aquí abajo algo que probablemente debería haber enfatizado más ahí arriba: La igualdad es una relación de equivalencia, pero no todas las relaciones de equivalencia son igualdad. Puedes pensar en $R$ como algo que se comporta como un signo de igualdad, pero es más general que eso. Si $S=\{1,2,3,4\}$ como arriba se podría escribir la relación de igualdad en $S$ como $$E = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.$$ Y entonces tendrías $aEb$ exactamente si y sólo si $a=b.$ Otras relaciones de equivalencia tendrán más pares, ya que la reflexividad garantiza que tienen que aparecer los cuatro. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares posibles es una relación de equivalencia (aunque no tan interesante) en la que dos números cualesquiera de $S$ están relacionados.

Answer 2

Guía breve:

Sí $(i,j)$ significa $iRj$ no significa que $i = j$ .

Ya veo $(3,2)$ y veo $(2,4)$ si es transitiva, ¿qué elemento debe aparecer también en el conjunto?