Perdón si el formato es pobre, es la primera vez que hago una pregunta. Estoy investigando cómo se comportan los gaussianos al cuadrado, utilizando las técnicas proporcionadas aquí que me están dando resultados inconsistentes. Esta es la configuración (simplificada): Tengo cuatro variables aleatorias, $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ que se distribuyen de la siguiente manera: $$ \left[ \begin{array}{c} Q_1\\ Q_2\\ Q_3\\ Q_4\\ \end{array} \right] \sim N_4\left(\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&\alpha&0\\ 0&1&0&\beta\\ \alpha&0&1&0\\ 0&\beta&0&1\\ \end{array} \right]\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \alpha,\beta \in [0,1] $$
Me ocupo de la distribución $BQ_1^2 + CQ_2^2 - 2Q_1Q_2$ (D1) donde $B,C$ son constantes. Además quiero contrastar el comportamiento de esa distribución con la distribución $\frac{1}{2}(BQ_1^2 + CQ_2^2 - 2Q_1Q_2 + BQ_3^2 + CQ_4^2 - 2Q_3Q_4)$ (D2), en las circunstancias en que $\alpha = \beta = 1$ . Idealmente, y según tengo entendido, se distribuyen de la misma manera bajo ese supuesto de correlación, ya que los términos repetidos están perfectamente correlacionados. Utilizando las técnicas mencionadas en la pregunta enlazada, y una matriz "A" (de nuevo, véase la pregunta que he enlazado más arriba) que tiene el siguiente aspecto $$ \left[ \begin{array}{cccc} B&-1&0&0\\ -1&C&0&0\\ 0&0&B&-1\\ 0&0&-1&C\\ \end{array} \right] $$
Obtengo que (D2) como arriba se distribuye según $$\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - \alpha}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \alpha}}{2}\right)^2 BT_1 + \left(\frac{\sqrt{1 - \beta}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \beta}}{2}\right)^2 CT_2 + \left(\frac{\sqrt{1 - \alpha}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \alpha}}{2}\right)^2 BT_3 + \left(\frac{\sqrt{1 - \beta}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \beta}}{2}\right)^2 CT_4\right)$$ donde cada $T_i$ es una variable aleatoria independiente chi cuadrada con d.o.f. 1. Bajo el supuesto de que $\alpha = \beta = 1$ esto se convierte en $$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}BT_1 + \frac{1}{2}CT_2 + \frac{1}{2}BT_3 + \frac{1}{2}CT_4\right)$$ Sin embargo, el uso de un truncado $A$ matriz para discernir la distribución de $D1$ , $$ \left[ \begin{array}{cc} B&-1\\ -1&C\\ \end{array} \right] $$ Y de manera similar una matriz de covarianza truncada que es sólo la identidad 2X2, obtengo que $(D1)$ se distribuye según $$\frac{1}{2}(B + C - \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2})Y_1 + \frac{1}{2}(B + C + \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2})Y_2$$ Dónde $Y_i$ son de nuevo variables aleatorias chi cuadrado independientes con d.o.f. 1.
Mi problema es que $\frac{1}{2}(B + C - \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2})Y_1 + \frac{1}{2}(B + C + \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2})Y_2$ no parece particularmente $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}BT_1 + \frac{1}{2}CT_2 + \frac{1}{2}BT_3 + \frac{1}{2}CT_4\right)$ aunque se espera que $BQ_1^2 + CQ_2^2 - 2Q_1Q_2 = \frac{1}{2}(BQ_1^2 + CQ_2^2 - 2Q_1Q_2 + BQ_3^2 + CQ_4^2 - 2Q_3Q_4)$ cuando $Q_1 = Q_3$ y $Q_2 = Q_4$ . He intentado masajearlas para que funcionen igual en vano; resulta que el resto de mis matemáticas no mostradas aquí me permiten ponerlas "en" funciones generadoras de momentos. El término relevante para $(D1)$ se convierte en $$(1- (B + C - \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2}))^\frac{1}{2}(1-(B + C + \sqrt{4 + B^2 - 2 B C + C^2}))^\frac{1}{2}$$ y el término relevante para (D2) se convierte en $$(1-\frac{1}{2}B)^\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}C)^\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}B)^\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}C)^\frac{1}{2}$$ $$=(1-\frac{1}{2}B)(1-\frac{1}{2}C)$$ que parece no tener ninguna esperanza de ser igual sólo en virtud de la dimensionalidad. ¿Qué estoy haciendo mal? Estoy bastante convencido de que estas cosas deberían ser iguales en el caso perfectamente correlacionado, y sin embargo aquí estoy, y no son en absoluto iguales. Otra cosa que he observado es que la distribución de (D2) no es sensible a los ajustes en los valores fuera de la diagonal del $A$ matriz, pero la distribución para (D1) es. Es decir, si sustituimos todos los valores de $-1$ en las matrices por $-\sqrt{2}$ la descomposición chi-cuadrado para (D2) sigue siendo la misma pero es diferente para (D1).
Como he dicho al principio, me he dejado algunas cosas. Puedo incluirlas si esta imagen no es lo suficientemente clara.
