Problema con la identidad trigonométrica relacionada con el número de condición de la matriz

Question

Así que, al intentar calcular el número de condición para la norma 2 de una matriz, me he topado con un problema que no puedo resolver.

Tengo la fórmula

$$ \frac{1-\cos\left(\frac{n}{n+1} \pi\right)}{1-\cos\left(\frac{1}{n+1} \pi\right)}. $$

Llegué a esto porque los valores propios de mi matriz son $2\left(1-\cos\left(\frac{p}{n+1} \pi\right)\right)$ para $p=1,..,n$ .

El problema viene del hecho de que necesito demostrar que esta fórmula de alguna manera termina siendo igual a $$\frac{1}{\tan^2\left(\frac{1}{2(n+1)}\pi\right)} $$

He llegado a

$$ \frac{1-\cos\left(\pi\frac{n}{n+1}\right)}{2\sin^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)} $$

pero parece que no puede llegar más lejos, sobre todo debido a la $n$ en el numerador del coseno.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes la idea correcta al explotar la identidad $$1 - \cos\theta \;=\; 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$$ para reescribir el denominador. Usando eso en el numerador se obtiene $$1 - \cos\left( \pi \frac{n}{n+1} \right) = 2\sin^2\frac{\pi n}{2(n+1)} \tag{$\star$}$$ Ahora, simplemente observa que los argumentos de los senos se combinan muy convenientemente: $$\frac{\pi n}{2(n+1)} + \frac{\pi}{2(n+1)}= \frac{\pi(n+1)}{2(n+1)} = \frac{\pi}{2}$$ para que $(\star)$ se convierte en $$2\sin^2\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2(n+1)} \right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$$ desde $\sin(\pi/2-\theta) = \cos\theta$ . El resultado es el siguiente. $\square$