La integral en $[0,1]\times[0,1]$

Question

Aquí tengo un problema.

$p$ $q$ son números positivos. la integral de la $$\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{x^p+y^q}\;dx\;dy< \infty \Longleftrightarrow \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>1$$

Aquí está mi intento, tal vez podamos cambiar la variable. Cuando $p>1:$ $$\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{x^p+y^q}dxdy=\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{(\frac{x}{y^{\frac{q}{p}}})^p+1}\cdot \frac{1}{y^q}dxdy=\int_0^1\int_0^{y^{-\frac{q}{p}}} \frac{y^{\frac{q}{p}-q}}{t^p+1}dtdy$$

Así que cuando $p>1,$ integrable$\Longleftrightarrow \frac{q}{p}-q>-1\Longleftrightarrow \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>1 $ Al $0<p \leq 1, \ \text{we have}\frac{1}{x^p}\geq \frac{1}{x^p+y^q}\geq \frac{1}{(x+y^\frac{q}{p})^p}$

Así integrable$\Longleftrightarrow \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>1$

Answer 1

Aquí está una estimación más orientado y Lebesgue-enfoque orientado basa en dos hechos:

1. La suma de dos números no negativos es comparable a su máximo. Es decir, $\max(a,b)\le a+b\le 2\max(a,b)$.
2. La integral de una función no negativa $f$ con respecto a la medida de $\mu$ es igual a $\int_0^\infty \mu(\{f>t\})\,dt$.

Si lo anterior se da por sentado, entonces, observar que para $t>1$, el conjunto donde $ \frac{1}{\max(x^p,y^q)} >t $ es el rectángulo de dimensiones $t^{-1/p}$$t^{-1/q}$. Su superficie es de $t^{-(1/p+1/q)}$, la integral de la que converge en $[1,\infty)$ ... usted sabe cuando.

Que en realidad no necesitan de la forma precisa de Hecho 2, la siguiente "áspero" es suficiente. Desde $\lfloor f \rfloor \le f\le \lfloor f \rfloor+1$, la integral de no negativo $f$ en un número finito de medir el espacio converge si y sólo si la integral de $\lfloor f \rfloor$ converge. La última integral es simplemente la suma $$ \sum_{k=1}^\infty \mu(\{f\ge k\}) $$ Conectar $f(x,y)=\frac{1}{\max(x^p,y^q)}$ tenemos $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{1/p+1/q}} $$