Medida de Hausdorff - Semicontinuidad inferior

Question

Por definición, cuando se nos da un conjunto $A \in \mathbb{R}^n$ , $$ H_\delta^{n-1} (\partial A ) = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \alpha_{n-1}\frac{1}{2^{n-1}} [\operatorname{diam}(U_j)] ^{n-1} \mid \partial A \subseteq \cup U_j , \operatorname{diam}U_j \leq \delta \right\} ,$$ $$ H^{n-1} (\partial A ) = \lim_{\delta \to 0 } H_\delta^{n-1} (\partial A ).$$

¿Cómo puedo demostrarlo cuando tengo $ \{A_i \},A $ que son abiertos con límites suaves en $\mathbb{R}^n $ , de tal manera que $\operatorname{Leb}(A_i \Delta A ) \to 0 $ entonces $ H^{n-1} ( \partial A) \leq \liminf_{ i \to \infty} H^{n-1} (\partial A_i )$ .

Gracias de antemano.

p.d. $\alpha_{n-1}$ es el volumen del $n-1$ bola de la unidad dimensional

Answer 1

Para los conjuntos con límite suave, la medida de Hausdorff del límite coincide con su perímetro . El perímetro puede definirse al menos de tres maneras diferentes pero equivalentes, dos de las cuales se encuentran en Wikipedia . Pero utilizaré la tercera, conocida como la definición de Miranda: el perímetro del conjunto $A$ es el infimo de $\liminf \|\nabla g_n\|_{L^1}$ tomada sobre todas las secuencias de funciones suaves $g_n$ que convergen en $\chi_A$ en el $L^1$ norma.

Su suposición dice que las funciones características de $A_i$ convergen a la función característica de $A$ en el $L^1$ norma. Tome las secuencias apropiadas $g_{n,i}\to \chi_{A_i}$ y la secuencia diagonal $g_{n,n}$ dará la desigualdad deseada.

Si esto es demasiado escueto, he aquí un reciente Tesis doctoral en esta zona. O busque de nuevo en Google "perímetro" y "variación acotada".