Problema de eliminación del cuantificador

Question

Necesito resolver el problema: ¿es posible utilizar el teorema de eliminación del cuantificador en la estructura $\langle\mathbb{Z}, <, = \rangle$ .

Tengo una prueba de que es posible que $\langle\mathbb{R}, <, = \rangle$ pero utiliza la densidad de estos órdenes (es decir, si $x<y$ entonces existe $z$ tal que $x<z<y$ ). Por lo tanto, esta es una diferencia real entre mi problema y este.

Probablemente creo que existe un ejemplo de la fórmula que refuta la eliminación del cuantificador para $\langle\mathbb{Z}, <, = \rangle$ .

Answer 1

Por los comentarios, sospechamos que "hay un elemento entre $x$ y $y$ "no puede expresarse sin cuantificadores. Una forma de demostrar esto es mostrar que $x=1$ y $y=3$ satisfacen todos los mismos cuantificadores libres $\varphi(x,y)$ como $x=1$ y $y=2.$ Se puede hacer esto mostrándolo para fórmulas atómicas y luego una inducción sobre la estructura de la fórmula.