Sugerencia: la ecuación de Pell, ya $ 12n^2 + 1 = m^2 $ permite clasificar a los valores.
Lo siento, pero yo no conozco a ningún otro enfoque, si usted no está familiarizado con este número de la teoría de truco.
Observar que en el orden de $N$ a ser un número entero, $12n^2 + 1$ debe ser el cuadrado de un número racional. Ya que es un número entero, por lo tanto debe ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto tenemos la Pell de la ecuación de la forma $m^2 - 12n^2 = 1 $.
Podemos comprobar que el $7^2- 12 \times 2^2=1$ es una solución inicial. A partir de la teoría de la ecuación de Pell, sabemos que las soluciones tienen la forma $$m_i + \sqrt{12} n_i = (7 + 2\sqrt{12})^i = ( 2 + \sqrt{3})^{2i}.$$
Por lo tanto,
$$2 + 2 m_i = 2 + (2+\sqrt{3})^{2i} + (2-\sqrt{3})^{2i} = [(2 +\sqrt{3})^i + (2-\sqrt{3})^i]^2. $$
Ahora es obvio que la expresión entre corchetes es un número entero, por lo tanto $2+2m_i$ es un cuadrado perfecto.
Para motivar a Yoni de la observación de que "El mayor factor principal de $n$ $N$ son los mismos", se observa que la
$$n_i = \frac{ (2+\sqrt{3})^{2i} - (2-\sqrt{3})^{2i} } {\sqrt{12} } = N_i \frac{ (2+\sqrt{3})^{i} - (2-\sqrt{3})^{i}}{\sqrt{12} }$$
El segundo término de la derecha es un entero que es mucho menor que $N_i$.
