Para $X^4-2$ En este caso, tienes esencialmente dos métodos, dependiendo de lo que sepas.
En primer lugar, debe determinar el grado de su extensión. Establezca $M=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ y $L=M(i)=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ .
Usted tiene $[M:\mathbb{Q}]=4$ y $[M(i):M]=2$ (evidentemente, este título es lo más $2$ desde $i^2+1=0$ pero esto es exactamente $2$ ya que $M\subset \mathbb{R}$ Así que $i\notin M$ .
Por lo tanto, $[L:\mathbb{Q}]=8$ . Sea $G={\rm Gal}(L/\mathbb{Q})$ .
Primer método. Para ello es necesario conocer la clasificación de los grupos de orden $8$ y la correspondencia de Galois.
Obsérvese que el subgrupo ${\rm Gal}(L/M)$ de $G$ no es normal, ya que la extensión $M/\mathbb{Q}$ no es Galois (esto forma parte de la correspondencia de Galois).
Ahora hay 5 grupos de orden 8: 3 grupos abelianos, $D_4$ y $Q_8$ (grupo de cuaterniones). Obsérvese que $D_4$ es el único grupo de orden $8$ que tiene un subgrupo que no es normal.
De ahí que su grupo sea necesariamente $D_4$ .
Segundo método. Hay que calcular todos los automorfismos de $L$ utilizando los métodos estándar, y luego ty para identificar el grupo en la lista de arriba, jugando con las relaciones de conmutación, órdenes... Supongo que usted sabe cómo extender un $\mathbb{Q}$ -Embarcación $K\to \mathbb{C}$ a una incrustación $K(\alpha)\to \mathbb{C}, $ donde $\alpha$ es algebraico sobre $K$ .
El $\mathbb{Q}$ -encuentros de $K=\mathbb{Q}(i)$ en $\mathbb{C}$ son $Id_K$ y $\tau$ , donde $\tau(i)=-i$ .
El polinomio mínimo de $\alpha=\sqrt[4]{2}$ en $K$ es $X^4-2$ (¿por qué?), así que $Id_K$ se extiende a $4$ automorfismos $\sigma_k$ , donde $\sigma_k(i)=i, \ \sigma_k(\alpha)=i^k\alpha, k=0,...,3$
Ahora , $\tau(X^4-2)=X^4-2\in K[X]$ Así que $\tau$ se extiende a $4$ automorfismos $\sigma'_k$ , donde $\sigma'(i)=-i, \ \sigma'_k(\alpha)=i^k\alpha, k=0,...,3$ .
No, necesitas encontrar un elemento de orden 4, y un elemento de orden 2, que satisfagan la relación de conmutación correcta. Te dejo que escribas los detalles.
Para el segundo polinomio, hay un resultado que debes conocer:
dejar $P$ sea un polinomio irreducible de $\mathbb{Q}[X]$ que es mónico y tiene coeficientes en $\mathbb{Z}$ . Sea $p$ sea un número primo. Supongamos que $P$ mod $p$ puede escribirse como $\pi_1\cdots\pi_r,$ donde $\pi_1,\cdots,\pi_r\in\mathbb{F}_p[X]$ son polinomios irreducibles distintos por pares.
Si $d_i=\deg(\pi_i)$ entonces el grupo de Galois de $P$ en $\mathbb{Q}$ (visto como un subgrupo de $S_n,$ donde $n=\deg(P)$ ) contiene una permutación de tipo $(d_1,\ldots, d_r)$ .
