Contraejemplo para "si toda función continua sobre $E$ está acotado, entonces $E$ es compacto"

Question

Dame un contraejemplo para esta falsa afirmación: "Toda función continua sobre el conjunto $E$ está acotado esto implica que $E$ es compacto".

Answer 1

Un espacio $X$ en la que toda función continua de X a los reales está acotada se llama pseudocompacto .

Un ejemplo de espacio pseudocompacto pero no compacto es cualquier espacio infinito con la topología de punto particular . Es la topología en la que se elige un punto arbitrario, se le llama $x$ y luego decir que los conjuntos abiertos son cualquier conjunto que contenga $x$ junto con el conjunto vacío. Se puede ver que tal colección de conjuntos es cerrada bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas (intersecciones arbitrarias de hecho), y que el conjunto vacío y el espacio entero están en la colección. Se trata, pues, de una topología.

Considere un espacio $X$ cuyos puntos son los números naturales 1, 2, 3, 4, ... con la topología puntual particular sobre el número 1. Este espacio no es compacto, porque si tomo la colección {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, ... ésta es una cubierta abierta de $X$ pero cualquier subcolección finita no cubre $X$ . Así que $X$ no es un espacio compacto.

Por otro lado, cualquier función continua de $X$ a $\mathbb{R}$ está acotado. Para ver esto, supongamos que $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Si $f$ es una función constante que está acotada, así que supongamos que $f$ no es constante. Entonces su imagen contiene dos reales distintos $a$ y $b$ con dos vecindades abiertas disjuntas $A$ y $B$ que contiene $a$ y $b$ respectivamente. Esto es una consecuencia de la topología habitual de los reales, en la que dos puntos distintos cualesquiera pueden estar separados por vecindades épsilon. Además, $A$ y $B$ son cada una de ellas no vacías.

Una función sobre un espacio topológico es continua si y sólo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. (Es un buen ejercicio demostrar que esta definición es equivalente a la definición habitual de épsilon-delta del cálculo).

Por lo tanto, las imágenes inversas $f^{-1}(A)$ y $f^{-1}(B)$ son conjuntos abiertos no vacíos en $X$ . Pero esto es imposible, porque no hay dos conjuntos abiertos no vacíos en $X$ que son disjuntos; su intersección siempre contiene al menos el número 1.

Por lo tanto, $f$ es constante después de todo. En otras palabras, toda función continua de $X$ a $\mathbb{R}$ es constante, por lo tanto acotada. Pero $X$ no es compacto.

Answer 2

Reclamación: $E$ está cerrado, es decir $E=\bar{E}$

Si no es así, entonces $\exists c\in \bar{E}\setminus E$

entonces la función $f(x)={1\over x-c}$ no tiene límites

así que $E$ debe estar cerrado.

Afirmación: E debe estar acotado.

Si no es así, tome $f(x)=x$ continua en $E$ pero sin límites.

Así que $E$ ¡debe ser un subconjunto cerrado y acotado de los reales debe ser compacto!