Una serie absolutamente convergente puede multiplicarse por otra serie absolutamente convergente. El límite del producto será el producto de los límites de las series individuales. ¿Cómo funciona?
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Considere la serie absolutamente convergente $\sum a_i$ y $\sum b_i$ , para $i \ge 0$ . La serie de productos se define como $$ \sum_{n \ge 0} \left( \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} \right) $$
Prueba de que esta serie es absolutamente convergente
Para cualquier $N$ tenemos \begin {align*} \sum_ {n = 0}^N \left | \sum_ {i=0}^n a_i b_{n-i} \right | & \le \sum_ {n = 0}^N \sum_ {i=0}^n \left | a_i b_{n-i} \right | \\ & \le \sum_ {i=0}^N \sum_ {j=0}^N |a_i| |b_j| \\ &= \left ( \sum_ {i=0}^N |a_i| \right ) \left ( \sum_ {j=0}^N |a_j| \right ) \\ \end {align*} que está uniformemente acotado ya que $\sum |a_i|$ y $\sum |b_i|$ están uniformemente acotados.
Prueba de que la serie converge al producto
Comparamos el $2N$ la suma parcial con el producto $\left(\sum_{i=0}^N a_i\right) \left( \sum_{i=0}^N b_i \right)$ .
\begin {align*} \left | \sum_ {n=0}^{2N} \sum_ {i=0}^n a_i b_{n-i} - \left ( \sum_ {i=0}^N a_i \right ) \left ( \sum_ {i=0}^N b_i \right ) \right | &= \left | \sum_ {i, j}_{i + j \le 2N} a_i b_j - \sum_ {i, j}_{i, j \le N} a_i b_j \right | \\ &= \left | \sum_ {i, j}_{i + j \le 2N}_{i,j > N} a_i b_j \right | \\ & \le \sum_ {i, j}_{i + j \le 2N}_{i,j > N} \left | a_i b_j \right | \\ & \le \sum_ {i=0}^N \sum_ {j=N+1}^{2N} |a_i b_j| + \sum_ {i=N+1}^{2N} \sum_ {j=0}^{N} |a_i b_g| \\ & \le \left ( \sum_ {j=N+1}^{2N} |b_j| \right ) \sum_ {i=0}^ \infty |a_i| + \left ( \sum_ {i=N+1}^{2N} |a_i| \right ) \sum_ {j=0}^ \infty |b_j| \\ & \le \left ( \sum_ {j=N+1}^{ \infty } |b_j| \right ) \sum_ {i=0}^ \infty |a_i| + \left ( \sum_ {i=N+1}^{ \infty } |a_i| \right ) \sum_ {j=0}^ \infty |b_j| \end {align*} Ahora tomando el límite como $N \to \infty$ los términos entre paréntesis van a $0$ porque son las colas de las series convergentes. Así, $$ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{2N} \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} = \lim_{N \to \infty} \left(\sum_{i=0}^N a_i\right) \left( \sum_{i=0}^N b_i \right) $$ (Ambos límites existen, ya que este último límite es el producto de límites que existen). Así, la serie del producto converge absolutamente al producto de las dos series.
