Estructura de la categoría de modelos monoidales en una categoría de funtores.

Question

Dejemos que $A$ sea una categoría simplicial pequeña. La categoría $Fun(A,s\mathrm{Set})$ de funtores simpliciales de $A$ a los conjuntos simpliciales se les puede dar la estructura del modelo proyectivo en el que la fibración y las equivalencias débiles son objetivas.

Supongamos además que $A$ es una categoría monoidal simétrica con respecto a algún operion binario $\circ: A\times A\to A$ . Podemos definir el producto tensorial de Día (o de convolución) sobre $Fun(A,s\mathrm{Set})$ por la siguiente coenda: $$F\otimes G(a)=A(-\circ -,a)\otimes_{A\times A}F(-)\times G(-)$$

Mi pregunta es:

¿Es cierto que la estructura del modelo proyectivo es una categoría de modelo monoidal en el sentido de que satisface el axioma del producto de empuje y, si es así, hay un lugar donde esto está escrito?

Answer 1

[Probablemente esto debería ser un comentario, ya que es muy corto. No obstante, es una respuesta a la pregunta].

El resultado que pides es una consecuencia de la proposición 2.2.15 en La tesis doctoral de Sam Isaacson (Universidad de Harvard, 2009). Esa proposición se afirma para categorías combinatorias simétricas monoidales (cerradas) del modelo, y no sólo para conjuntos simpliciales. En este caso general, la afirmación de la tesis de Sam Isaacson requiere que la categoría base tenga prácticamente cofibrante objetos de morfismo. Esta condición es automática para los conjuntos simpliciales, ya que todos los conjuntos simpliciales son cofibrantes en la estructura habitual del modelo.

No tengo ni idea de quién fue el primero en demostrar o publicar el resultado anterior.

Answer 2

Sin mirar con mucho detalle, creo que Shipley y Schwede afirman en su artículo "algebras and modules in monoidal model categories" en la página 502, que cuando (con la notación de tu pregunta) A es la categoría de conjuntos simpliciales finitos y el producto monoidal es el producto smash, entonces sí que da una estructura de modelo monoidal. Hablan de ello muy brevemente pero dan muchas referencias. Hay una copia en línea aquí: http://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/AlgebrasModules.pdf

Saludos,

Tom

Answer 3

Recientemente he pensado en este problema para una categoría de modelo general en lugar de $sSet$ y para un producto tensorial diferente. Te diré lo que se me ocurrió, porque tal vez las referencias puedan ayudarte, y porque quiero escribirlo en algún lugar de todos modos. Supongamos que $A$ es una categoría pequeña y $M$ es una categoría modelo monoidal generada cofibrantemente. Definir un producto sobre $Fun(A,M)$ por $(X\otimes Y)_a = X_a \otimes Y_a$ para $i\in A$ .

Datos : Si $A$ tiene coproductos finitos entonces $Fun(A,M)$ satisface el axioma del producto de empuje. Véase la obra de Sinan Yalin Documento de 2012 para una prueba. Intenté sin éxito demostrar lo contrario, pero al hacerlo demostré que la hipótesis sobre los coproductos finitos está ahí para explicar la diferencia entre las cofibraciones de nivel y las cofibraciones proyectivas en $Fun(A,M)$ . Así que creo que es necesario.

Datos : Si $A$ es una categoría Reedy, entonces la estructura del modelo Reedy en $Fun(A,M)$ satisface el axioma del producto de empuje. Véase Barwick Lema 4.2

Si $M$ es combinatoria, podemos definir la estructura del modelo inyectivo en $Fun(A,M)$ . Dado que las cofibraciones se definen como cofibraciones de nivel, obtenemos aquí el axioma del producto de empuje de forma gratuita. Así que esto cubre todas las grandes estructuras de modelos en las categorías de diagramas, para el producto tensorial a nivel de objeto.

Como nota al margen, si $A = \bullet \to \bullet$ entonces $Fun(A,M)$ es la categoría de las flechas y se le puede dar un producto monoidal diferente, a saber, el producto de caja $f \Box g$ que se utiliza en el axioma del producto de empuje. En un trabajo de próxima aparición, Hovey demuestra $Fun(A,M)$ hereda el axioma del producto de empuje y el axioma del monoide de $M$ .

Por supuesto, nada de esto aborda el producto de convolución, con el que nunca he trabajado. Pero espero que te sirva de ayuda, o al menos te haga reflexionar. Me pregunto qué pasa con el producto Day en una categoría de modelo Reedy, por ejemplo.

EDIT: El artículo ya ha sido presentado, y un preprint está disponible en El nuevo sitio web de Hovey .