Valor de expectativa martingala

Question

Quiero demostrar que para $(B_t)_t$ siendo el movimiento browniano y un tiempo de parada $\tau:= \text{inf}_{t \ge 0} \{B_t= a+bt\}$ donde $a,b>0$ tenemos que el valor de la expectativa $E(e^{-\lambda \tau}, \tau< \infty) = e^{-a(b+ \sqrt{b^2 +2 \lambda})}$ para $\lambda >0.$

También hay una pista que dice que debo usar la martingala $M(t)=e^{c B(t)- \frac{c^2t}{2}}$ donde $c \ge 0.$

Supongo que esto se puede derivar de alguna manera del teorema de parada opcional, pero no veo cómo encaja todo esto. Así que yo empezaría con

$1=E(M(0))=E(M(\tau))$ pero no veo cómo puedo evaluar el lado derecho para obtener la expresión deseada. Tampoco estoy seguro de que se cumplan las condiciones del teorema de parada opcional.

Answer 1

De todos modos, no estoy seguro de que siga siendo útil después de 2 años

1) primero hay que calcular la transformada de Laplace del tiempo de golpe de llevel $a$ para un movimiento browniano estándar, digamos $B_t$ , bajo una medida $P$ . Definir $\tilde{\tau}:= \inf \{t:\ B_t\geq a \}$ . Para ello, utilizamos la pista que usted propuso, es decir $$E_P(e^{\theta B_t- \frac{\theta^2t}{2}})=1,$$ lo que implica que, utilizando el teorema de parada opcional de Doob, ya que $B_{\tilde{\tau}}=a$ , $$E_P(e^{\theta a- \frac{\theta^2\tilde{\tau}}{2}})=1,$$ o de forma equivalente: $$e^{-\theta a}= E_P( e^{\frac{\theta^2\tilde{\tau}}{2}}).$$ Ahora defina $\lambda:=\frac{\theta^2}{2} $ para que $\theta = \sqrt{2 \lambda}$ . Sustituyendo estas cantidades en la ecuación anterior, se deduce que $$ E_P( e^{-\lambda\tilde{\tau}})= e^{\sqrt{2 \lambda}}.$$

2) Ahora utilizamos el Teorema de Girsanov. En particular, existe una medida $Q_t$ para lo cual $\frac{dQ_t}{dP_t} = e^{ \mu B_t+ \frac{\mu^2}{2} t}$ y $ \tilde{B}_t =B_t - \mu t $ es un movimiento browniano bajo $Q_t$ .

Podemos aplicar el resultado del paso 1) para $\tilde{B}_t$ en particular: $$E_P( e^{-\lambda\tilde{\tau}})= E_Q( e^{-\lambda \tau} e^{ \mu B_\tau+ \frac{\mu^2}{2} \tau} ) = e^{\sqrt{2 \lambda}}.$$ Por lo tanto, $$E_Q(e^{-\tau(-\lambda+\frac{\mu^2}{2} )})= e^{-a(\mu+\sqrt{2\lambda})}.$$ Definir $\hat{\lambda}:=-\lambda+\frac{\mu^2}{2}, $ así que $\lambda = \tilde{\lambda}+\frac{\mu^2}{2}$ . Sustituyendo en la ecuación anterior esta cantidad se obtiene la conclusión.