¿Cómo evalúa los elementos del doble de Drinfeld $D(H)$ contra elementos de $H^\ast$ o $H$ ?

Question

La proposición 8.2 del manual de Majid sobre grupos cuánticos dice que si $H$ es un álgebra de Hopf de dimensión finita con el doble cuántico $D(H)$ entonces se trata de un álgebra de Hopf factorizable con estructura cuasi triangular $$R=\sum_a (f^a\otimes 1)\otimes (1\otimes e_a)$$ donde $\{e_a\}$ es una base de $H$ y $\{f^a\}$ la base dual.

El axioma $(\Delta\otimes\operatorname{id})R=R_{13}R_{23}$ se traduce en $$(f^a_{(1)}\otimes 1)\otimes (f^a_{(2)}\otimes 1)\otimes (1\otimes e_a)=(f^a\otimes 1)\otimes (f^b\otimes 1)\otimes (1\otimes e_ae_b). \quad(\ast)$$

Dice evaluando contra $\phi\in H^\ast$ en el tercer factor da ambos lados de esta identidad como $\phi_{(1)}\otimes 1\otimes\phi_{(2)}\otimes 1\otimes 1$ .

¿Qué significa "evaluar contra $\phi\in H^\ast$ en el tercer factor? ¿Significa eso calcular $$\langle (f^a_{(1)}\otimes 1)\otimes (f^a_{(2)}\otimes 1)\otimes (1\otimes e_a),(1\otimes 1)\otimes (1\otimes 1)\otimes (\phi\otimes 1)\rangle$$

Si es así, no sé qué hacer con esta expresión, sé $H$ y $H^\ast$ están emparejados por la evaluación $\langle \phi,h\rangle=\phi(h)$ pero no sé qué significa esto para $D(H)\otimes D(H)\otimes D(H)$ ni cómo podría llevar a $\phi_{(1)}\otimes 1\otimes\phi_{(2)}\otimes 1\otimes 1$ .

Así que creo que el emparejamiento de evaluación de $H^\ast$ y $H$ induce un emparejamiento de $D(H)=H^\ast\otimes H$ y $D(H)^\ast=H^{\ast\ast}\otimes H^{\ast}=H\otimes H^\ast$ por $$\langle \phi\otimes g,h\otimes \psi\rangle=\langle \phi,h\rangle\langle g,\psi\rangle=\phi(h)\psi(g)$$ que induce el emparejamiento de $D(H)^{\otimes 3}$ y $D(H)^{\ast\ \otimes 3}$ por $$\langle (\phi\otimes g)\otimes (\psi\otimes h)\otimes (\chi\otimes k),(a\otimes \alpha)\otimes(b\otimes\beta)\otimes(c\otimes \gamma)\rangle=\langle \phi\otimes g,a\otimes\alpha\rangle\langle \psi\otimes h,b\otimes\beta\rangle\langle \chi\otimes k,c\otimes\gamma\rangle = \phi(a)\alpha(g)\psi(b)\beta(h)\chi(c)\gamma(k)$$

Editar: Así que la evaluación de ambos lados de $(\ast)$ arriba contra $(1\otimes 1)\otimes (1\otimes 1)\otimes (1\otimes \phi)$ dar $$\epsilon(f^a_{(1)})\epsilon(f^a_{(2)})\phi(e_a)$$ y $$\epsilon(f^a)\epsilon(f^b)\phi(e_ae_b)?$$ ¿Cómo se llega a $\phi_{(1)}\otimes 1\otimes \phi_{(2)}\otimes 1\otimes 1$ ?

Answer 1

El emparejamiento de $H^*$ y $H$ da un emparejamiento de $D(H) \otimes D(H)^*$ que induce un emparejamiento de $D(H) \otimes D(H) \otimes D(H)$ y $D(H)^* \otimes D(H)^* \otimes D(H)^*$ . Está evaluando el emparejamiento parcial con $1 \otimes \phi$ en el tercer producto tensorial.

Más concretamente, en la ecuación: $$(f^a_{(1)}\otimes 1)\otimes (f^a_{(2)}\otimes 1)\otimes (1\otimes e_a)=(f^a\otimes 1)\otimes (f^b\otimes 1)\otimes (1\otimes e_ae_b).$$ cada lado está dentro $D(H) \otimes D(H) \otimes D(H)$ o, a la inversa, como un mapa $D(H)^* \rightarrow D(H) \otimes D(H)$ . Evaluar contra $1 \otimes \phi \in H \otimes H^* \approx D(H)^*$ es sólo comprobar la imagen de $\phi$ en cada lado.

EDITAR: En general, se puede escribir $T: V \rightarrow V$ como $T = \sum_i v_i \otimes \alpha^i$ para $v_i \in V$ y $\alpha^i \in V^*$ . Entonces, para $x \in V$ , $T(x) = \sum v_i \langle \alpha_i x \rangle$ .

Ahora, volviendo a nuestro caso, por definición de base dual, un vector $v \in H$ se puede escribir $v = \sum_a e_a \langle f^a, v \rangle$ lo que significa que la matriz de identidad es $\sum_a e_a \otimes f^a$ . Del mismo modo, la matriz de identidad en $H \otimes H$ es $\sum_{a,b} e_a \otimes e_b \; f^a \otimes f^b$ .

A continuación, ya que $\Delta f^a = f^a_{(1)} \otimes f^a_{(2)}$ , uno tiene $\Delta \psi = \sum_a f^a_{(1)} \otimes f^a_{(2)} \langle e_a, \psi \rangle$ .

Por último, tenemos $$f^a \otimes f^b \langle e_a e_b, \psi \rangle = f^a \otimes f^b \langle e_a \otimes e_b, \Delta \psi \rangle \\ = f^a \otimes f^b \langle e_a \otimes e_b, \psi_{(1)} \otimes \psi_{(2)} \rangle \\ = \psi_{(1)} \otimes \psi_{(2)}$$

Ahora vamos a calcular la imagen de $(1 \otimes \phi )$ : $$(f^a_{(1)}\otimes 1)\otimes (f^a_{(2)}\otimes 1)\otimes (1\otimes e_a) \cdot (1 \otimes \phi ) = f^a_{(1)}\otimes 1 \otimes f^a_{(2)}\otimes 1 \langle e_a, \psi \rangle \\ = \psi_{(1)} \otimes 1 \otimes \psi_{(2)} \otimes 1$$

El otro lado, espero que lo intentes.