Fórmula para el período del péndulo utilizando la conservación de la energía

Question

Estoy tratando de derivar el período de un péndulo simple utilizando la conservación de la energía y sin cálculo.

Estoy haciendo algo mal que no puedo entender.

Veo muchas otras derivaciones en Internet que utilizan el cálculo y que quiero evitar por ahora.

El péndulo tiene una longitud $L$ y es desplazado por $\theta$ de la vertical.

Conservación de la energía mecánica:

$$E_U=E_T$$

$$mgh=\frac{1}{2}mv^2$$

$$v=\sqrt{2gh}$$

$$v=\sqrt{2gL(1-\cos \theta)}=\omega L$$

Tengo la sensación de que algo va mal al decir: $v=\omega L$ en la última línea.

$$2gL(1-\cos \theta)=\omega^2 L^2=\frac{4\pi^2}{T^2}L^2$$

$$T^2g(1-\cos \theta)=2\pi^2 L$$

$$T^2=2\pi^2 \frac{L}{g} \frac{1}{(1-\cos \theta)}$$

$$T=2\pi^2 \sqrt{\frac{L}{g}} \frac{1}{\sqrt{2(1-\cos \theta)}}$$

Esto sería genial si: $\frac{1}{\sqrt{2(1-\cos \theta)}}$ se acerca a $1$ como $\theta$ se acerca a cero, pero no lo hace.

Aunque noto que funcionaría si digamos: $v=\omega L\sin \theta$ Pero, ¿por qué?

¿Es cierto que:

$$T=2\pi^2 \sqrt{\frac{L}{g}} \frac{\sin \theta}{\sqrt{2(1-\cos \theta)}}$$

Answer 1

Configuración $v = L\omega$ está bien. Ajuste $\omega = 2\pi/T$ es incorrecto. Sólo sería correcta si el péndulo viajara en un círculo completo y a una velocidad constante, lo cual no es cierto para un péndulo oscilante.

Además, su fórmula para la conservación de la energía $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ sólo es cierto si $h$ es la altura máxima y $v$ es la velocidad máxima, que no se producen al mismo tiempo. La forma correcta de expresar la conservación de la energía para todos los puntos de la oscilación es $$mgh + \frac{1}{2}mv^2 = E = \textrm{constant}.$$ Entonces, se puede decir que, en la altura máxima, la velocidad es cero, por lo que $$mgh_{max} = E$$ y, a la máxima velocidad, la altura es cero (si la altura se define como la distancia sobre el punto más bajo de la oscilación $$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = E.$$ Así, $$mgh_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2.$$

Answer 2

Estoy bastante seguro de que no se puede. La conservación de la energía te dará una relación entre $\theta$ y $\omega$ pero no hay forma de extraer nada relacionado con el tiempo a menos que se escriba $\omega=d\theta /dt$ .

Si $\theta_0$ es el ángulo máximo, entonces $$\frac 12 mL^2\omega^2-mgL\cos\theta=-mgL\cos\theta_0.$$ Lo que produce $$\omega=\pm\sqrt{\frac {2g}{L}(\cos\theta-\cos\theta_0)},$$ donde el signo depende de la dirección actual de la oscilación. Para seguir adelante hay que escribir $\omega=d\theta/dt$ para que pueda obtener $$dt=\sqrt{\frac{L}{2g}}\frac{\pm d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.$$ Ahora, es más fácil calcular un período trimestral a partir de $\theta=0$ a $\theta=\theta_0$ por lo que sólo hay que tomar el signo más de la raíz cuadrada: $$\int_0^{T/4}dt=\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_0^{\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.$$ Finalmente, $$T=4\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_0^{\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.$$ Esta integral no se puede escribir de forma cerrada, lo que confirma aún más que no hay forma de calcular el periodo sin cálculo.

Answer 3

Puede ver cómo $v=\omega L$ te mete en problemas porque $\omega$ es una constante, y la velocidad del péndulo claramente no es constante. De hecho, la velocidad es mayor cuando el desplazamiento angular es $0$ (parte inferior del péndulo), y la velocidad es $0$ cuando entonces cuando el desplazamiento angular es mayor. Así, si se utiliza $\theta=\theta_0\cos(\omega t)$ la velocidad será en $\sin\omega t$ .

Para ser precisos: $v\approx L\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ para que, utilizando \begin {align} \Delta \theta &= \theta_0\left ( \cos ( \omega (t+ \Delta t))- \cos ( \omega t) \right )\, , \\ &= \theta_0\left ( \cos ( \omega t) \cos ( \omega \Delta t)- \sin ( \omega t) \sin ( \omega \Delta t)- \cos ( \omega t) \right )\, , \\ & \approx\theta_0\left ( \cos\omega t- \sin ( \omega t) \Delta t)- \cos\omega t \right )\, , \\ &=- \omega \Delta t \theta_0\sin ( \omega t) \end {align} donde $\cos(\omega \Delta t)\approx 1$ y $\sin(\omega \Delta t)\approx \omega \Delta t$ se han utilizado. Por lo tanto, tiene \begin {align} v=-L \omega\sin ( \omega t) \end {align} Una vez que tengas esto puedes utilizar la conservación de la energía como sugieres: \begin {align} \frac {1}{2}mL^2 \omega ^2 \theta_0 ^2 \sin ^2( \omega t)+ mgL(1- \cos\theta ) =mgL(1- \cos\theta_0 ) \tag {1} \end {align} donde $\theta_0$ es la amplitud, y la RHS se evalúa cuando el péndulo está en el desplazamiento $\theta_0$ donde su velocidad en ese punto es $0$ .

Reajuste para ángulos pequeños \begin {align} mgL( \cos\theta - \cos\theta_0 )& \approx mgL \frac {1}{2}( \theta ^2_0- \theta ^2)\, , \\ &= \frac {mgL}{2} \theta_0 ^2(1- \cos ^2 \omega t)= \frac {mgL}{2} \theta_0 ^2 \sin ^2 \omega t \end {align} por lo que (1) se convierte en \begin {align} \frac {1}{2}mL^2 \omega ^2 \theta_0 ^2 \sin ^2 \omega t&= \frac {1}{2}mgL \theta_0 ^2 \sin ^2 \omega t\, , \\ \end {align} y el resultado es el siguiente.

Answer 4

$$v=\sqrt{2gL(1-\cos \theta)}=\omega L$$ Tengo la sensación de que algo va mal al decir: $v=\omega L$ en la última línea.

Tienes razón al sospechar que hay algo sospechoso aquí.

• Esto es algo correcto si te refieres a $\omega$ es la velocidad angular instantánea del péndulo cuando alcanza el punto más bajo de su oscilación.
• Pero, es un error escribirlo si te refieres a $\omega$ es la frecuencia angular del movimiento armónico.

Aclaremos la diferencia entre ambos.

Aunque eres alérgico al cálculo, supongo que te parece bien escribir ecuaciones de movimiento para el movimiento armónico utilizando funciones trigonométricas. Así que las utilizaré. ¿Qué es un movimiento armónico de alguna cantidad, digamos $q$ ? Son las oscilaciones en los valores de $q$ con el tiempo dado por una ecuación como

\begin {align} q=A \sin { \omega_ {S} t} \end {align} donde $A$ es la amplitud de las oscilaciones y $w_{S}$ es la frecuencia angular de las oscilaciones y el periodo de tiempo de las oscilaciones sería por tanto $T=\frac{2\pi}{\omega_S}$ .

Ahora, si tomas $q$ para ser el desplazamiento, se puede describir el movimiento armónico de una partícula en una línea, como el de una masa unida a un muelle. Si se toma $q$ para ser un desplazamiento angular, usted y describir el movimiento armónico de una partícula en movimiento angular, como el de un péndulo (de baja amplitud).

Por último, hay un pequeño hecho que tenemos que robar del cálculo y es que la tasa de cambio de $q$ cuando $q$ está en su valor medio viene dado por $A\omega_S$ en movimiento armónico. Esto significa que cuando $q$ es algún desplazamiento lineal (como para una masa unida a un muelle), la velocidad de la masa cuando ésta se encuentra en el punto alrededor del cual oscila sería $A\omega_S$ . Y, del mismo modo, en nuestro caso, la velocidad angular del péndulo cuando éste se encuentra en su punto más bajo vendría dada por $A\omega_S$ .

Entonces, si la velocidad angular del péndulo en su punto más bajo es $\omega$ entonces tenemos que escribir $$\omega=A\omega_S$$ donde $A$ es la amplitud de oscilación, que es el ángulo de máximo desplazamiento, $\theta$ . Así, obtenemos $$\omega_S=\frac{\omega}{\theta}$$

Ahora, lo que has calculado es simplemente la velocidad angular del péndulo en el punto más bajo. Tienes que usar eso para encontrar la frecuencia angular del movimiento armónico para obtener el período de tiempo $T=\frac{2\pi}{\omega_S}$ .

Utilizando su resultado para $\omega$ se puede escribir

\begin {align} T&= \frac {2 \pi }{ \omega_S } \\ &= \frac {2 \pi\theta }{ \omega } \\ &=2 \pi\sqrt { \frac {L}{g}} \frac { \theta }{ \sqrt {2(1- \cos\theta )}} \\ \end {align}

El último paso es utilizar la identidad $1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$ y la aproximación $\sin\theta\approx \theta$ para los pequeños $\theta$ (tenemos que tomar el pequeño $\theta$ aproximación porque la suposición del movimiento armónico de un péndulo sólo es válida bajo este supuesto). Este último paso lo dejaré para ti.