Determinación del grupo de automorfismo

Question

Dejemos que $K=\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ . En el libro Álgebra Abstracta de Dummit y Foote, página 563, el autor dio un ejemplo para encontrar el grupo de Galois de $K/\mathbb{Q}$ . Aquí hay algunos argumentos que se relacionan con mi pregunta :

La ampliación $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ es Galois sobre $Q$ ya que es el campo de división de $(x^2-2)(x^2-3)$ . Cualquier automorfismo $\sigma$ está completamente determinada por su acción sobre los generadores $\sqrt{2},\sqrt{3}$ que debe asignarse a $\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{3}$ respectivamente.

Por lo tanto, las únicas posibilidades de automorfismos son los mapas: \begin {casos} \sqrt {2} \mapsto \sqrt {2} \\ \sqrt {3} \mapsto \sqrt {3} \end {casos} \begin {casos} \sqrt {2} \mapsto - \sqrt {2} \\ \sqrt {3} \mapsto \sqrt {3} \end {casos} \begin {casos} \sqrt {2} \mapsto \sqrt {2} \\ \sqrt {3} \mapsto - \sqrt {3} \end {casos} \begin {casos} \sqrt {2} \mapsto - \sqrt {2} \\ \sqrt {3} \mapsto - \sqrt {3} \end {casos}

Mi pregunta es :

1. ¿Por qué el automorfismo tiene que mapear $\sqrt{2}$ a $\pm\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ a $\pm\sqrt{3}$ ? ¿Por qué no podemos elegir un automorfismo como \begin {array}{l l} \sqrt {2} \mapsto \sqrt {3} \\ - \sqrt {2} \mapsto - \sqrt {3} \end {array} He intentado demostrar que el mapa anterior no es un automorfismo pero mi intento ha fracasado. ¿En qué me equivoco?
2. Dejemos que $\sigma$ sea el 2º automorfismo, $\tau$ sea el 3er automorfismo, entonces qué es: $\sigma(-\sqrt{2})$ y $\tau(-\sqrt{3})$ ?

P/S : No sé el código de látex del soporte, mod por favor me ayude. Gracias

Answer 1

Si $\alpha^2=2$ entonces $\sigma(\alpha)^2=\sigma(\alpha^2)=\sigma(2)=2$ . En general, si $f(\alpha)=0$ con $f\in\mathbb Q[X]$ entonces también $f(\sigma\alpha)=0$ (porque $\sigma f=f$ ).

Para su segunda pregunta tenga en cuenta que con $u,v\in \mathbb Q$ tienes $\sigma(u\alpha+v\beta)=u\sigma(\alpha)+v\sigma(\beta)$ .