Los números algebraicos reales forman una extensión de campo algebraica ordenada máxima de $\mathbb{Q}$ en el sentido de que son una extensión algebraica de campo ordenado de $\mathbb{Q}$ y ninguna otra extensión de campo ordenado de $\mathbb{Q}$ contenida en $\overline{\mathbb{Q}}$ contiene adecuadamente los números algebraicos reales. ¿Existen otras extensiones algebraicas máximas ordenadas de campos de $\mathbb{Q}$ ? Creo que, por el Lemma de Zorn, esto es equivalente a preguntar si existe alguna extensión de campo ordenada de $\mathbb{Q}$ en $\overline{\mathbb{Q}}$ que contiene un número no real. Además, suponiendo que existan otros campos de este tipo, ¿ $\overline{\mathbb{Q}}$ necesariamente tienen dimensión $2$ como un espacio vectorial sobre un campo algebraico ordenado máximo de $\mathbb{Q}$ ?
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Una extensión algebraica ordenada máxima de un campo $K$ se llama cierre real de $K$ y los campos que surgen de este modo se denominan real cerrado .
Cualquier campo ordenado $K$ admite un cierre real, y este cierre real es único hasta un isomorfismo único sobre $K$ . Pero el verdadero cierre de $K$ puede admitir muchas incrustaciones diferentes en el cierre algebraico de $K$ .
Por ejemplo, para construir distintos cierres reales de $\mathbb{Q}$ dentro de $\overline{\mathbb{Q}}$ , tenga en cuenta que el campo $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ admite dos ordenaciones: la estándar y la que se obtiene aplicando el intercambio de automorfismos $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ . Dejemos que $K$ sea $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ equipado con este orden no estándar, dejemos que $R$ sea un cierre real de $K$ y empotrar $R$ en $\overline{\mathbb{Q}}$ . Entonces $R$ no es igual al campo de los números algebraicos reales, ya que (por ejemplo) $-\sqrt{2}$ tiene una raíz cuadrada en $R$ (ya que es positivo en $K$ ).
Una de las muchas caracterizaciones de los campos reales cerrados es que un campo $R$ es real cerrado si y sólo si no es algebraicamente cerrado, pero su cierre algebraico es una extensión finita: en particular, es siempre la extensión $R[\sqrt{-1}]$ de grado $2$ . Así que la respuesta a tu última pregunta es sí. De hecho, los subcampos reales cerrados de $\overline{\mathbb{Q}}$ son exactamente los subcampos $R$ tal que $[\overline{\mathbb{Q}}:R] = 2$ . Con un poco más de trabajo, se puede demostrar que hay muchos subcampos de este tipo.
Pues bien, se puede tomar la imagen de los números algebraicos reales bajo cualquier automorfismo de $\overline{\mathbb{Q}}$ (o cualquier isomorfismo de $\overline{\mathbb{Q}}$ a cualquier otro cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ ). Dado que $\overline{\mathbb{Q}}$ es algebraicamente cerrado, tiene muchos automorfismos; en particular, para cualquier $a,b\in\overline{\mathbb{Q}}$ con el mismo polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ existe un automorfismo $f:\overline{\mathbb{Q}}\to\overline{\mathbb{Q}}$ tal que $f(a)=b$ . Tomando $a$ para ser real y $b$ para ser no real pero tener el mismo polinomio mínimo, esto da muchos automorfismos que no mapean los reales a sí mismos. (De hecho, los únicos automorfismos de $\overline{\mathbb{Q}}$ que mapean los reales a sí mismos son la identidad y la conjugación compleja, mientras que $\overline{\mathbb{Q}}$ tiene un número incontable de automorfismos diferentes).
Sin embargo, este es el único tipo de ejemplo. En efecto, supongamos que $K\subseteq\overline{\mathbb{Q}}$ es un campo ordenado máximo. Entonces $K$ debe ser arquimediano, ya que cualquier elemento infinitamente grande sería trascendental sobre $\mathbb{Q}$ . De ello se desprende que $K$ se incrusta en $\mathbb{R}$ (cada elemento de $K$ determina un corte Dedekind de racionales), y entonces por maximalidad la imagen de esta incrustación debe ser todos los números algebraicos reales. De ello se deduce que $K(i)$ es algebraicamente cerrado y también lo es todo $\overline{\mathbb{Q}}$ . Además, nuestra incrustación $K\to\mathbb{R}$ se extiende a una incrustación $\overline{\mathbb{Q}}=K(i)\to\mathbb{C}$ que entonces puede considerarse como un automorfismo de $\overline{\mathbb{Q}}$ cuya inversa mapea los números algebraicos reales a $K$ .
De forma más general, los siguientes hechos son verdaderos por los teoremas de Artin y Schreier. Si $k$ es un campo ordenado cualquiera, entonces tiene una extensión algebraica ordenada máxima $K$ que es único hasta un isomorfismo único que preserva el orden, conocido como cierre real de $k$ . La extensión $K(\sqrt{-1})$ es entonces algebraicamente cerrado. A la inversa, si $L$ es un campo algebraicamente cerrado que es una extensión propia finita de un subcampo $K$ entonces $K$ admite una ordenación única y no tiene extensiones algebraicas propias que puedan ser ordenadas, y $L=K(\sqrt{-1})$ .
