Compañero de la clase de puntos de los conjuntos inductivos

Question

Esta pregunta se refiere a la noción de compañero para una clase de Spector, como se define en el libro de Moschovakis Inducción elemental sobre estructuras abstractas. Estoy interesado en las clases de Spector sobre $\mathbb{R}$ que no son más que un tipo de clase de punto en negrita. La más pequeña es IND, la clase de conjuntos inductivos (en negrita), que consideraré como un ejemplo típico.

El compañero de una clase de Spector $\bf \Gamma$ en $\mathbb{R}$ es una estructura $(M,\in,R)$ con ciertas propiedades (enumeradas en el libro) tales que $\bf \Gamma$ es la clase de conjuntos de puntos que son $\Sigma_1$ -definible en $M$ con parámetros reales de la relación $R$ . El compañero de $\bf \Gamma$ no es único, pero su conjunto subyacente $M$ es única y también la clase de relaciones sobre $M$ que son $\Sigma_1$ -definible desde $R$ en $M$ con parámetros reales es única.

La clase de puntos IND también puede describirse como la clase de conjuntos de puntos que $\Sigma_1$ -definible sobre $M$ a partir de parámetros en $\mathbb{R} \cup \lbrace\mathbb{R} \rbrace$ donde $M = L_\kappa(\mathbb{R})$ es el nivel mínimo admisible de $L(\mathbb{R})$ . Debemos permitir $\lbrace\mathbb{R} \rbrace$ como parámetro aquí o simplemente obtendríamos el ${\bf \Sigma}^1_2$ conjuntos. Para cualquier compañero $(M,\in,R)$ de IND debemos tener $M = L_\kappa(\mathbb{R})$ .

Pregunta: ¿Hay algún compañero $(M,\in,R)$ de IND donde la relación $R$ tiene una definición sencilla sobre $M = L_\kappa(\mathbb{R})$ (¿más simple que en la construcción general de Moschovakis de un compañero?) Tal vez algo que ya se estudia en la estructura fina de $L(\mathbb{R})$ ?

Answer 1

La relación $R$ puede estar vacío; es decir , si $\kappa$ es el menor ordinal tal que $L_\kappa(\mathbb{R})$ es admisible, entonces la estructura $(L_\kappa; \in, \emptyset)$ es un compañero de la clase de puntos $\mathrm{IND}$ de conjuntos inductivos. Podemos demostrar una afirmación algo más general.

Supongamos que $\kappa$ es un ordinal tal que

• $J_\kappa(\mathbb{R})$ es admisible (en cuyo caso $J_\kappa(\mathbb{R}) = L_\kappa(\mathbb{R})$ pero puede haber puntos más adelante en el argumento en los que sea necesario utilizar la jerarquía de Jensen) y

• $\kappa$ comienza una $\Sigma_1$ -sin embargo, la brecha en $L(\mathbb{R})$ , lo que significa que $J_\alpha(\mathbb{R})$ no es un $\Sigma_1(\mathbb{R} \cup \{\mathbb{R}\})$ -subestructura elemental de $J_\kappa(\mathbb{R})$ para cualquier ordinal $\alpha <\kappa$ .

Entonces la estructura $(L_\kappa; \in, \emptyset)$ es un compañero para la clase de punto $\mathbf{\Sigma}_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ . (Así que dejando $J_\kappa(\mathbb{R})$ sea el nivel mínimo admisible de $L(\mathbb{R})$ obtenemos el resultado deseado para la clase de puntos $\mathrm{IND}$ .)

El criterio de "compañerismo" que no me quedó claro al publicar la pregunta fue la proyectabilidad: la existencia de un $\mathbf{\Delta}_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ sobreexposición parcial $\mathbb{R} \dashrightarrow J_\kappa(\mathbb{R})$ .

La existencia de un $\Sigma_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ sobreexposición parcial $\mathbb{R} \dashrightarrow J_\kappa(\mathbb{R})$ es conocida. Además, a partir de esto podemos obtener fácilmente una $\Delta_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ la suryección parcial de la siguiente manera.

(He editado mi respuesta a continuación para sustituir el argumento más enrevesado que escribí antes).

Dejemos que $F: \mathbb{R} \dashrightarrow J_\kappa(\mathbb{R})$ ser un $\Sigma_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ y que $\theta$ ser un $\Sigma_1$ fórmula que lo define sobre $J_\kappa(\mathbb{R})$ . Entonces defina $G: \mathbb{R} \dashrightarrow J_\kappa(\mathbb{R})$ dejando $(x,a) \in G$ si y sólo si hay un $\alpha < \kappa$ tal que $$J_\alpha(\mathbb{R}) \models \theta(x,a) \quad\And\quad \forall \xi < \alpha\, J_\xi(\mathbb{R}) \models \forall y \in \mathbb{R}\, \neg\theta(y,a).$$ Entonces $F \subset G$ y es fácil comprobar que $G$ es $\Delta_1^{J_\kappa(\mathbb{R})}$ y que el rango de $G$ es igual al rango de $F$ que es todo $J_\kappa(\mathbb{R})$ .