Morfismos de tipo finito y localizaciones

Question

Estoy tratando de obtener alguna intuición geométrica para los morfismos de tipo finito y localmente finito de los esquemas. He encontrado preguntas similares pero no he sido capaz de entender las respuestas lo suficientemente bien como para sentir que he ganado alguna intuición real.

Para empezar, el tipo finito parece ser una forma fuerte de compactación (es decir, de retroceso de los compactos a los compactos).

En esta respuesta de MO se dice que el "tipo finito" se refiere a las fibras de dimensión finita, mientras que esta respuesta a la misma pregunta dice que el "tipo localmente finito" se refiere a la "dimensionalidad finita de los barrios pequeños del origen del mapa". No entiendo en absoluto estas intuiciones y agradecería ejemplos para afinar la "dimensionalidad finita de los barrios pequeños".

Las respuestas a esta pregunta de MSE ambos se detienen en las localizaciones y su estructura topológica, aparentemente insinuando que las localizaciones proporcionan una intuición geométrica para los morfismos de tipo finito. Desgraciadamente, no entiendo nada: ¿qué es esta intuición geométrica?

Me gustaría especialmente entender el último ejemplo de localización y su relación con el tipo finito, ya que no me parece tan vago como "la dimensionalidad finita de los barrios".

Answer 1

En cuanto a su pregunta sobre la "dimensionalidad finita de los barrios pequeños", recuerde que si $f:X\rightarrow Y$ es localmente de tipo finito, entonces para cualquier abierto afín $U = \text{spec} A \subseteq Y$ podemos cubrir $f^{-1}(U)$ por afines abiertos $\text{spec} B_i \subset f^{-1}(U)$ tal que $B_i$ es una entidad finitamente generada $A-$ el álgebra.

Así que si arreglas cualquier $x\in f^{-1}(U)$ (es decir, el origen del mapa), entonces si se toma alguna pequeña vecindad afín $\text{spec} B_i$ alrededor de $x$ entonces el morfismo correspondiente $\text{spec} B_i \rightarrow \text{spec} A$ tiene fibras de dimensión finita. Esto no es lo mismo que decir $f$ tiene fibras de dimensión finita, ya que se puede imaginar que su preimagen tiene infinitas copias disjuntas de afines abiertos con dimensión creciente.

Tienes razón en que hay tipo finito da alguna condición extra de compacidad, de hecho tipo finito = tipo localmente finito + cuasi-compacto (ejercicio 3.3(a) de Hartshorne). En este caso el problema que teníamos arriba no se da, ya que podemos cubrir la preimagen por afines abiertos finitamente numerosos.