Mostrando que $\Omega$ es de clase $C^1$

Question

Me han hecho mucho en este problema, pero por desgracia no es suficiente para resolverlo, respuestas o sugerencias son muy bienvenidas.

Deje $B$ ser un rectángulo en $\mathbb R^2$ y considerar la posibilidad de $\varphi\colon B\to\mathbb{R}^3$ de la clase $C^1$.

Para cualquier $y\in\mathbb{R}^3\setminus\varphi(B)$, definir $$\Omega(y) = \int_\varphi\frac{1}{|y-x|^3}(y-x)\,dS_x.$$ Mostrar que $\Omega$ es de clase $C^1$ como una función de la variable $y$.

En este punto me podría encontrar que $$\frac{\partial\Omega}{\partial y_1}(y)=\int_{\partial\varphi}\frac{1}{|y-x|^3}(0,x_3-y_3,x_2-y_2)$$ $$\frac{\partial\Omega}{\partial y_2}(y)=\int_{\partial\varphi}\frac{1}{|y-x|^3}(x_3-y_3,0,x_1-y_1)$$ y $$\frac{\partial\Omega}{\partial y_3}(y)=\int_{\partial\varphi}\frac{1}{|y-x|^3}(x_2-y_2,x_1-y_1,0).$$ Ahora, todo lo que tienes que hacer es mostrar que ninguna de estas es continuo, como una función de $y$, y que es donde las cosas se están poniendo difíciles.

Gracias.

Answer 1

Voy a esbozar lo que yo creo que para ser una prueba válida de esta afirmación. Lamentablemente, no tengo el tiempo en el momento de profundizar en todos los detalles; tengo la esperanza de que voy a proporcionar detalles suficientes para que el descarne se puede hacer por mis lectores, sin demasiado trabajo. Por favor siéntase libre de dejar comentarios si usted se siente más discusión es necesario o en cualquier forma.

Creo que hay dos elementos fundamentales necesarios en probar este. El primero, mencionado en los comentarios, es la compacidad de $\varphi(B)$$R^3$. De esta manera se sigue directamente de la conocida y hecho básico de que la imagen continua de un compacto es compacto. Ahora corrección para el momento en $y \in R^3 \setminus \varphi(B)$, y considerar la distancia Euclidiana función de $\vert x - y \vert$ donde $x \in \varphi(B)$. Esta es una función continua de $x \in \varphi(B)$, una afirmación que se deduce fácilmente de la desigualdad de triángulo $\vert y - z \vert \le \vert y - x \vert + \vert x - z \vert$, que fácilmente se implica $\vert \vert y - z \vert - \vert y - x \vert \vert \le \vert x - z \vert$, por lo que si $\vert x - z \vert$ es sufficienly pequeño, $\vert y - z \vert$ está tan cerca como queramos,$\vert y - x \vert$. Como una función continua en el conjunto compacto $\varphi(B)$, $\vert x - y \vert$ alcanza su valor mínimo $d_1$ en algún punto de $x_0 \in \varphi(B)$, y debemos tener $d_1 > 0$ desde $y \notin \varphi(B)$. Ahora recoger algunos de los verdaderos $d_2$,$0 < d_2 < d_1$, y considerar cerrado el balón $\bar B(y, d_2)$ radio $d_2$$y \in R^3 \setminus \varphi(B)$. Claramente $\bar B(y, d_2) \cap \varphi(B) = \phi$, de lo contrario no sería un punto de $w \in \varphi(B)$$\vert y - w \vert \le d_2$, contradiciendo el hecho de que la distancia mínima entre el $y$ punto $x \in \varphi(B)$$d_1$. De hecho, podemos ir un poco más allá: para $w \in \bar B(y, d_2)$, e $x \in \varphi(B)$, escribir $w - x = (w - y) - (x - y)$,$\vert w - x \vert = \vert (w - y) - (x - y) \vert \ge \vert \vert w - y \vert \ - \vert x - y \vert \vert$; pero $\vert x - y \vert \ge d_1$ por la elección de $x_0$, e $\vert w - y \vert \le d_2$ desde $w \in \bar B(y, d_2)$,$\vert w - x \vert \ge \vert d_1 - d_2 \vert > 0$, para cualquier $x \in \varphi(B)$ y cualquier $w \in \bar B(y, d_2)$.

El anterior argumento, de hecho, muestra que el integrando en la expresión de $\Omega(y)$, es decir,

$\frac{1}{\vert y - x \vert^3}(y - x)$,

es uniformemente acotada por $x \in \varphi(B)$$w \in \bar B(y, d_2)$; de hecho,

$\vert \frac{1}{\vert w - x \vert^3}(w - x) \vert = \frac{1}{\vert w - x \vert^3} \vert (w - x) \vert = \frac {1}{\vert w - x \vert^2} \le \frac{1}{\vert d_1 - d_2 \vert^2} < \infty$.

Nos estamos acercando.

El segundo hecho fundamental de las preocupaciones de la medida $dS_x$$\varphi(B)$. Para hacer las cosas de la mosca, la necesitamos para estar razonablemente bien educados. Con esto me refiero principalmente a que un conjunto finito de medida en $B$ no se puede asignar, bajo la acción de $\varphi$, algo de medida infinita. Pero creo que queda bastante claro que, dada la la diferenciabilidad de $\varphi$, y de nuevo un llamamiento a la compacidad de $B$, que esto no puede suceder. De hecho, la expresión de $dS_x$ dado por 40 votos a su comentario, viz. $\vert \varphi_u \times \varphi_v \vert du dv$, las reglas de este tipo de patología, ya $\varphi_x$, $\varphi_y$ son continuas ($\varphi$ es de clase $C^1$ por hipótesis) y $B$ es compacto. De hecho, en "realizar" el requisito de integraciones podemos trabajar en $u-v$ coordenadas en $B$.

Creo que tenemos bastantes cosas en conjunto para poner esto a uno en la cabeza.

Por lo que hemos visto, todo el integrando, que gracias a los 40 votos y su acertado comentario es, en términos de las coordenadas en $B$,

$\frac{(w - \varphi(u, v))}{\vert w - \varphi(u, v) \vert^3} \vert \varphi_u \times \varphi_v \vert$,

es uniformemente acotada por $x \in \varphi(B)$, es decir, para$(u, v) \in B$$x = \varphi(u, v)$$w \in \bar B(y, d_2)$. Así que por lo tanto puede invocar la norma teoremas, que suerte de ir por nombres tales como el de Leibniz integral de la regla, el teorema de convergencia dominada, la limitada teorema de convergencia, ver en este enlace, Leibniz integral de la regla, para los detalles.

Por último, tengo en el anterior hecho uso repetido de la desigualdad de $\vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert$, que tiene en cualquier normativa espacio y sigue desde el triángulo inquality: si $\vert a + b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert$ través $\vert a \vert = \vert (a - b) + b \vert \le \vert a - b \vert + \vert b \vert$, de donde $\vert a \vert - \vert b \vert \le \vert a - b \vert$, y por el cambio de los roles de $a$ $b$ la afirmación de $\vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert$ sigue.

Espero que esto está claro; la esperanza, no he hecho demasiados errores tipográficos. Tengo que correr, mi trabajo nocturno atrae. Si los errores no son tan grandes como para destruir mi respuesta, voy a tratar de corregir más adelante.

Saludos.