Intuición de la ecuación del calor en estado estacionario

Question

Estoy aprendiendo un poco de análisis de fourier, con un interés en la física también. Originalmente publiqué esta pregunta en el intercambio de pilas de matemáticas, pero tal vez ustedes los físicos tienen más experiencia en este tipo de cosas. La ecuación estándar a resolver es la ecuación del calor en estado estacionario (ecuación de Laplace) en el plano es

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 $$

Ahora entiendo que, en funciones con una frontera fija, las soluciones de esta ecuación dan la distribución de calor constante, suponiendo que el calor en la frontera es una temperatura constante. Por lo tanto, las soluciones armónicas tienen sentido.

Sin embargo, no me convence la intuición física de una solución en un subconjunto abierto del plano. Puesto que el calor debería dispersarse por igual, ¿no deberían ser constantes las únicas soluciones en estado estacionario, si no hay una frontera a una temperatura fija? El teorema de Louiville para funciones armónicas (una función entera acotada es constante) me dice que en todo el plano, el calor debe dispersarse eventualmente por igual, pero no consigo intuir por qué no es así en subconjuntos abiertos acotados del plano. ¿Existe alguna ecuación diferente en la que debería fijarme? No puedo encontrar ninguna parte de la derivación de la ecuación del calor que utilice el hecho de que un límite debe ser fijo.

Answer 1

No estoy del todo seguro de haber entendido bien su pregunta, pero ésta es mi interpretación de su pregunta. No dude en corregirme si lo he entendido mal.

En física, normalmente estamos interesados en resolver problemas que potencialmente tienen una realización física, lo que significa que podemos estar buscando problemas de valor límite que tienen soluciones únicas (bueno, al menos en la física clásica). Para que una EDP con un operador elíptico tenga una solución única, se necesitan condiciones de contorno en toda la frontera. El problema "sin fronteras" (en un espacio abierto limitado subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ ) de la que parece estar hablando arriba no describe un problema físico definido, y por lo tanto no tiene una interpretación física directa.

Además, el problema de la transferencia de calor en todo el plano (supongo que se refiere a todo el $\mathbb{R}^2$ ) tampoco tiene interés físico, ya que no corresponde a ninguna situación física realista. Supongo que se podría especular, en principio, sobre la solución de un problema de transferencia de calor en el "universo entero", es decir $\mathbb{R}^3$ y las soluciones acotadas de la ecuación de Laplace en este caso son efectivamente constantes (con un valor arbitrario de la temperatura). Incluso me atrevería a decir que esto tiene cierto sentido intuitivo, aunque, por supuesto, tal problema es totalmente académico, y no tiene ninguna relación con el estado de nuestro universo físico real.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: soy ingeniero, y probablemente mis conocimientos de matemáticas de alto nivel sean escasos en este caso. Pero intentaré adivinar a qué te refieres con la pregunta. No está muy claro qué condiciones de contorno estás utilizando, ya que una frontera abierta en el plano no se considera realmente como una frontera para la ecuación del calor en sí (estoy asumiendo aquí que por las palabras "frontera abierta" estás definiendo esa sección del plano como una frontera termodinámica). sistema cerrado ).

Sin embargo, me parece que estás utilizando la condición de contorno de un plano infinito, con una fuente de calor puntual a temperatura constante. En ese caso, la única estado estacionario es efectivamente una temperatura constante, en la que todo el plano adopta la misma temperatura que su fuente puntual. (¡Nótese que esto sólo se alcanza cuando el tiempo tiende a infinito!) Esto se aplica sin importar la frontera abierta con la que se rodea la fuente puntual. Si quieres discutir cómo fluye el calor a través de la frontera abierta antes de se alcanza el equilibrio de temperatura constante, entonces tu respuesta ya no se rige por la ecuación del calor en estado estacionario, sino por la transitoria, que en 2 dimensiones y con una conductividad térmica constante tiene el siguiente aspecto:

$\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2} = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}$

He sustituido $f$ con $T$ ya que esa es la función que se suele utilizar para resolver la ecuación del calor (temperatura en función de la posición). Además, el parámetro $\alpha$ se llama difusividad térmica de cualquier sustancia de la que esté hecho su avión.

Las soluciones a esta ecuación, con un plano infinito y una fuente puntual de calor, mostrarían que el calor se propaga por igual en todas las direcciones a través del plano, pero si dibujas una frontera abierta que no sea un círculo con tu fuente puntual en su centro, entonces el calor no cruzará tu frontera en cantidades iguales en todos los puntos, independientemente del tiempo que mires. ¿Quizás eso es lo que te ha confundido?